Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 197 b = 208 c = 299

Obsah trojúhelníku: S = 20405,9298550301
Obvod trojúhelníku: o = 704
Semiperimeter (poloobvod): s = 352

Úhel ∠ A = α = 41,01224937709° = 41°45″ = 0,71658030508 rad
Úhel ∠ B = β = 43,85773690016° = 43°51'27″ = 0,76554554903 rad
Úhel ∠ C = γ = 95,13301372275° = 95°7'49″ = 1,66603341125 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 207,16767873127
Výška trojúhelníku: v_b = 196,21108514452
Výška trojúhelníku: v_c = 136,49545053532

Těžnice: t_a = 237,97111116922
Těžnice: t_b = 230,84441032385
Těžnice: t_c = 136,69876590875

Poloměr vepsané kružnice: r = 57,9711387927
Poloměr opsané kružnice: R = 150,10112802456

Souřadnice vrcholů: A[299; 0] B[0; 0] C[142,05501672241; 136,49545053532]
Těžiště: T[147,0176722408; 45,49881684511]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[149,5; -13,42217856994]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[144; 57,9711387927]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,98875062291° = 138°59'15″ = 0,71658030508 rad
∠ B' = β' = 136,14326309984° = 136°8'33″ = 0,76554554903 rad
∠ C' = γ' = 84,87698627725° = 84°52'11″ = 1,66603341125 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 197 b = 208 c = 299

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 197 + 208 + 299 = 704

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 0 4}{2} = 352

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 352 (352 - 197) (352 - 208) (352 - 299) S = 416401920 = 20405, 93

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 4 0 5 , 9 3}{1 9 7} = 207, 17 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 4 0 5 , 9 3}{2 0 8} = 196, 21 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 4 0 5 , 9 3}{2 9 9} = 136, 49

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 8 ^{2} + 2 9 9 ^{2} - 1 9 7 ^{2}}{2 \cdot 2 0 8 \cdot 2 9 9}) = 41 ° 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 9 7 ^{2} + 2 9 9 ^{2} - 2 0 8 ^{2}}{2 \cdot 1 9 7 \cdot 2 9 9}) = 43 ° 5 1^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 45 " - 43 ° 5 1^{'} 27 " = 95 ° 7^{'} 49 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 4 0 5 , 9 3}{3 5 2} = 57, 97

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 9 7 \cdot 2 0 8 \cdot 2 9 9}{4 \cdot 5 7 , 9 7 1 \cdot 3 5 2} = 150, 1

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 8 ^{2} + 2 \cdot 2 9 9 ^{2} - 1 9 7 ^{2}}{2} = 237, 971 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 9 ^{2} + 2 \cdot 1 9 7 ^{2} - 2 0 8 ^{2}}{2} = 230, 844 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 8 ^{2} - 2 9 9 ^{2}}{2} = 136, 698

Vypočítat další trojúhelník