Trojúhelník 197 208 299
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 197 b = 208 c = 299Obsah trojúhelníku: S = 20405,9298550301
Obvod trojúhelníku: o = 704
Semiperimeter (poloobvod): s = 352
Úhel ∠ A = α = 41,01224937709° = 41°45″ = 0,71658030508 rad
Úhel ∠ B = β = 43,85773690016° = 43°51'27″ = 0,76554554903 rad
Úhel ∠ C = γ = 95,13301372275° = 95°7'49″ = 1,66603341125 rad
Výška trojúhelníku: va = 207,16767873127
Výška trojúhelníku: vb = 196,21108514452
Výška trojúhelníku: vc = 136,49545053532
Těžnice: ta = 237,97111116922
Těžnice: tb = 230,84441032385
Těžnice: tc = 136,69876590875
Poloměr vepsané kružnice: r = 57,9711387927
Poloměr opsané kružnice: R = 150,10112802456
Souřadnice vrcholů: A[299; 0] B[0; 0] C[142,05501672241; 136,49545053532]
Těžiště: T[147,0176722408; 45,49881684511]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[149,5; -13,42217856994]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[144; 57,9711387927]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,98875062291° = 138°59'15″ = 0,71658030508 rad
∠ B' = β' = 136,14326309984° = 136°8'33″ = 0,76554554903 rad
∠ C' = γ' = 84,87698627725° = 84°52'11″ = 1,66603341125 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=197 b=208 c=299
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=197+208+299=704
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2704=352
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=352(352−197)(352−208)(352−299) S=416401920=20405,93
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=1972⋅ 20405,93=207,17 vb=b2 S=2082⋅ 20405,93=196,21 vc=c2 S=2992⋅ 20405,93=136,49
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 208⋅ 2992082+2992−1972)=41°45" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 197⋅ 2991972+2992−2082)=43°51′27" γ=180°−α−β=180°−41°45"−43°51′27"=95°7′49"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=35220405,93=57,97
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 57,971⋅ 352197⋅ 208⋅ 299=150,1
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 2082+2⋅ 2992−1972=237,971 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 2992+2⋅ 1972−2082=230,844 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1972+2⋅ 2082−2992=136,698
Vypočítat další trojúhelník