Trojúhelník 25 25 14
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 25 b = 25 c = 14Obsah trojúhelníku: S = 168
Obvod trojúhelníku: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32
Úhel ∠ A = α = 73,74397952917° = 73°44'23″ = 1,28770022176 rad
Úhel ∠ B = β = 73,74397952917° = 73°44'23″ = 1,28770022176 rad
Úhel ∠ C = γ = 32,52204094166° = 32°31'13″ = 0,56875882184 rad
Výška trojúhelníku: va = 13,44
Výška trojúhelníku: vb = 13,44
Výška trojúhelníku: vc = 24
Těžnice: ta = 15,94552187191
Těžnice: tb = 15,94552187191
Těžnice: tc = 24
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,25
Poloměr opsané kružnice: R = 13,02108333333
Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[7; 24]
Těžiště: T[7; 8]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; 10,97991666667]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 5,25]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 106,26602047083° = 106°15'37″ = 1,28770022176 rad
∠ B' = β' = 106,26602047083° = 106°15'37″ = 1,28770022176 rad
∠ C' = γ' = 147,48795905834° = 147°28'47″ = 0,56875882184 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=25 b=25 c=14
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=25+25+14=64
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=264=32
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32(32−25)(32−25)(32−14) S=28224=168
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=252⋅ 168=13,44 vb=b2 S=252⋅ 168=13,44 vc=c2 S=142⋅ 168=24
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 25⋅ 14252+142−252)=73°44′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 25⋅ 14252+142−252)=73°44′23" γ=180°−α−β=180°−73°44′23"−73°44′23"=32°31′13"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=32168=5,25
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,25⋅ 3225⋅ 25⋅ 14=13,02
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 252+2⋅ 142−252=15,945 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 252−252=15,945 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 252+2⋅ 252−142=24
Vypočítat další trojúhelník