Výpočet trojúhelníku

Zadané strana a, těžnice t_c a úhel β.

Trojúhelník má dvě řešení: a=7; b=4.61096016282; c=6.36437138795 a a=7; b=10.71438515788; c=15.08655305278.

#1 Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 7 b = 4,61096016282 c = 6,36437138795

Obsah trojúhelníku: S = 14,31768075168
Obvod trojúhelníku: o = 17,97333155077
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,98766577539

Úhel ∠ A = α = 77,45328590336° = 77°27'10″ = 1,35218074052 rad
Úhel ∠ B = β = 40° = 0,69881317008 rad
Úhel ∠ C = γ = 62,54771409664° = 62°32'50″ = 1,09216535476 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 4,09105164334
Výška trojúhelníku: v_b = 6,21217331048
Výška trojúhelníku: v_c = 4.54995132678

Těžnice: t_a = 4,3155395782
Těžnice: t_b = 6,28798344228
Těžnice: t_c = 5

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,59331181435
Poloměr opsané kružnice: R = 3,58656335426

Souřadnice vrcholů: A[6,36437138795; 0] B[0; 0] C[5,36223111018; 4.54995132678]
Těžiště: T[3,90986749938; 1.54998377559]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,18218569398; 1,65330439549]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,37770561257; 1,59331181435]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 102,54771409664° = 102°32'50″ = 1,35218074052 rad
∠ B' = β' = 140° = 0,69881317008 rad
∠ C' = γ' = 117,45328590336° = 117°27'10″ = 1,09216535476 rad

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Zadané vstupní údaje: strana a, úhel β a těžnice t_c.

a = 7 β = 40 ° t_{c} = 5

2. Ze strany a a úhlu β vypočítáme výšku v_c:

v_{c} = a \cdot sin β = 7 \cdot sin 40 ° = 4, 5

3. Ze strany a, úhlu β a těžnice t_c vypočítáme stranu c:

x = c / 2 x^{2} - 2 a cos β + a^{2} - t_{c}^{2} = 0 x^{2} - 10, 725 x + 24 = 0 a = 1; b = - 10, 725; c = 24 D = b^{2} - 4 a c = 10, 72 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 19, 0175214114 D > 0 x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} = \frac{1 0 , 7 2 \pm 1 9 , 0 2}{2} x_{1, 2} = 5, 362311 \pm 2, 180454 x_{1} = 7, 542765264 x_{2} = 3, 18185694 c_{1} = 2 \cdot x_{1} = 15, 086 c_{2} = 2 \cdot x_{2} = 6, 364

4. Výpočet třetí strany b trojúhelníku pomocí kosinové věty

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β b = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β b = 7^{2} + 15, 0 9^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 15, 09 \cdot cos 40 ° b = 10, 71

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.

a = 7 b = 4, 61 c = 6, 36

5. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 4, 61 + 6, 36 = 17, 97

6. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7 , 9 7}{2} = 8, 99

7. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 99 (8, 99 - 7) (8, 99 - 4, 61) (8, 99 - 6, 36) S = 204, 97 = 14, 32

8. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 , 3 2}{7} = 4, 09 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 , 3 2}{4 , 6 1} = 6, 21 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 , 3 2}{6 , 3 6} = 4, 5

9. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 , 6 1 ^{2} + 6 , 3 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 4 , 6 1 \cdot 6 , 3 6}) = 77 ° 2 7^{'} 10 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 6 , 3 6 ^{2} - 4 , 6 1 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 6 , 3 6}) = 40 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 77 ° 2 7^{'} 10 " - 40 ° = 62 ° 3 2^{'} 50 "

10. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 , 3 2}{8 , 9 9} = 1, 59

11. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 4 , 6 1 \cdot 6 , 3 6}{4 \cdot 1 , 5 9 3 \cdot 8 , 9 8 7} = 3, 59

12. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 , 6 1 ^{2} + 2 \cdot 6 , 3 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 4, 315 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 3 6 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 4 , 6 1 ^{2}}{2} = 6, 28 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 4 , 6 1 ^{2} - 6 , 3 6 ^{2}}{2} = 5

#2 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 7 b = 10,71438515788 c = 15,08655305278

Obsah trojúhelníku: S = 33,93987723808
Obvod trojúhelníku: o = 32,79993821066
Semiperimeter (poloobvod): s = 16.43996910533

Úhel ∠ A = α = 24,8332793774° = 24°49'58″ = 0,43334140138 rad
Úhel ∠ B = β = 40° = 0,69881317008 rad
Úhel ∠ C = γ = 115,1677206226° = 115°10'2″ = 2,0110046939 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 9,69767921088
Výška trojúhelníku: v_b = 6,3355494221
Výška trojúhelníku: v_c = 4.54995132678

Těžnice: t_a = 12,60767411919
Těžnice: t_b = 10,46985224239
Těžnice: t_c = 5

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,06994763255
Poloměr opsané kružnice: R = 8,33438970893

Souřadnice vrcholů: A[15,08655305278; 0] B[0; 0] C[5,36223111018; 4.54995132678]
Těžiště: T[6,81659472099; 1.54998377559]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,54327652639; -3,54440842073]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,68658394745; 2,06994763255]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,1677206226° = 155°10'2″ = 0,43334140138 rad
∠ B' = β' = 140° = 0,69881317008 rad
∠ C' = γ' = 64,8332793774° = 64°49'58″ = 2,0110046939 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strana a, úhel β a těžnice t_c.

a = 7 β = 40 ° t_{c} = 5

2. Ze strany a a úhlu β vypočítáme výšku v_c:

v_{c} = a \cdot sin β = 7 \cdot sin 40 ° = 4, 5

3. Ze strany a, úhlu β a těžnice t_c vypočítáme stranu c:

x = c / 2 x^{2} - 2 a cos β + a^{2} - t_{c}^{2} = 0 x^{2} - 10, 725 x + 24 = 0 a = 1; b = - 10, 725; c = 24 D = b^{2} - 4 a c = 10, 72 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 19, 0175214114 D > 0 x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} = \frac{1 0 , 7 2 \pm 1 9 , 0 2}{2} x_{1, 2} = 5, 362311 \pm 2, 180454 x_{1} = 7, 542765264 x_{2} = 3, 18185694 c_{1} = 2 \cdot x_{1} = 15, 086 c_{2} = 2 \cdot x_{2} = 6, 364

4. Výpočet třetí strany b trojúhelníku pomocí kosinové věty

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β b = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β b = 7^{2} + 15, 0 9^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 15, 09 \cdot cos 40 ° b = 10, 71

a = 7 b = 10, 71 c = 15, 09

5. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 10, 71 + 15, 09 = 32, 8

6. Poloviční obvod trojúhelníku

s = \frac{o}{2} = \frac{3 2 , 8}{2} = 16, 4

7. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 4 (16, 4 - 7) (16, 4 - 10, 71) (16, 4 - 15, 09) S = 1151, 84 = 33, 94

8. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 , 9 4}{7} = 9, 7 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 3 , 9 4}{1 0 , 7 1} = 6, 34 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 3 , 9 4}{1 5 , 0 9} = 4, 5

9. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 , 7 1 ^{2} + 1 5 , 0 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 0 , 7 1 \cdot 1 5 , 0 9}) = 24 ° 4 9^{'} 58 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 5 , 0 9 ^{2} - 1 0 , 7 1 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 5 , 0 9}) = 40 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 24 ° 4 9^{'} 58 " - 40 ° = 115 ° 1 0^{'} 2 "

10. Poloměr vepsané kružnice

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 3 , 9 4}{1 6 , 4} = 2, 07

11. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 0 , 7 1 \cdot 1 5 , 0 9}{4 \cdot 2 , 0 6 9 \cdot 1 6 , 4} = 8, 33

12. Výpočet těžnic

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 7 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 , 0 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 12, 607 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 , 0 9 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 0 , 7 1 ^{2}}{2} = 10, 469 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 7 1 ^{2} - 1 5 , 0 9 ^{2}}{2} = 5

Vypočítat další trojúhelník

Výpočet trojúhelníku

#1 Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strana a, úhel β a těžnice tc.

2. Ze strany a a úhlu β vypočítáme výšku vc:

3. Ze strany a, úhlu β a těžnice tc vypočítáme stranu c:

4. Výpočet třetí strany b trojúhelníku pomocí kosinové věty

5. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

6. Poloviční obvod trojúhelníku

7. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

8. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

9. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

10. Poloměr vepsané kružnice

11. Poloměr opsané kružnice

12. Výpočet těžnic

#2 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strana a, úhel β a těžnice tc.

2. Ze strany a a úhlu β vypočítáme výšku vc:

3. Ze strany a, úhlu β a těžnice tc vypočítáme stranu c:

4. Výpočet třetí strany b trojúhelníku pomocí kosinové věty

5. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

6. Poloviční obvod trojúhelníku

7. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

8. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

9. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

10. Poloměr vepsané kružnice

11. Poloměr opsané kružnice

12. Výpočet těžnic

1. Zadané vstupní údaje: strana a, úhel β a těžnice t_c.

2. Ze strany a a úhlu β vypočítáme výšku v_c:

3. Ze strany a, úhlu β a těžnice t_c vypočítáme stranu c:

1. Zadané vstupní údaje: strana a, úhel β a těžnice t_c.

2. Ze strany a a úhlu β vypočítáme výšku v_c:

3. Ze strany a, úhlu β a těžnice t_c vypočítáme stranu c: