Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 5,5 b = 5,3 c = 7,8

Obsah trojúhelníku: S = 14,56215933194
Obvod trojúhelníku: o = 18,6
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,3

Úhel ∠ A = α = 44,78875169949° = 44°47'15″ = 0,78216896354 rad
Úhel ∠ B = β = 42,75547920255° = 42°45'17″ = 0,74662118919 rad
Úhel ∠ C = γ = 92,45876909797° = 92°27'28″ = 1,61436911264 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 5,29551248434
Výška trojúhelníku: v_b = 5,49549408753
Výška trojúhelníku: v_c = 3,73437418768

Těžnice: t_a = 6,07547427929
Těžnice: t_b = 6,20766496598
Těžnice: t_c = 3,73663083385

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,56657627225
Poloměr opsané kružnice: R = 3,90435906822

Souřadnice vrcholů: A[7,8; 0] B[0; 0] C[4,03884615385; 3,73437418768]
Těžiště: T[3,94661538462; 1,24545806256]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,9; -0,16773923963]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1,56657627225]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,21224830052° = 135°12'45″ = 0,78216896354 rad
∠ B' = β' = 137,24552079745° = 137°14'43″ = 0,74662118919 rad
∠ C' = γ' = 87,54223090203° = 87°32'32″ = 1,61436911264 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5, 5 b = 5, 3 c = 7, 8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5, 5 + 5, 3 + 7, 8 = 18, 6

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 8 , 6}{2} = 9, 3

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9, 3 (9, 3 - 5, 5) (9, 3 - 5, 3) (9, 3 - 7, 8) S = 212, 04 = 14, 56

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 6}{5 , 5} = 5, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 6}{5 , 3} = 5, 49 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 6}{7 , 8} = 3, 73

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 , 3 ^{2} + 7 , 8 ^{2} - 5 , 5 ^{2}}{2 \cdot 5 , 3 \cdot 7 , 8}) = 44 ° 4 7^{'} 15 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 , 5 ^{2} + 7 , 8 ^{2} - 5 , 3 ^{2}}{2 \cdot 5 , 5 \cdot 7 , 8}) = 42 ° 4 5^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 4 7^{'} 15 " - 42 ° 4 5^{'} 17 " = 92 ° 2 7^{'} 28 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 , 5 6}{9 , 3} = 1, 57

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 , 5 \cdot 5 , 3 \cdot 7 , 8}{4 \cdot 1 , 5 6 6 \cdot 9 , 3} = 3, 9

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 3 ^{2} + 2 \cdot 7 , 8 ^{2} - 5 , 5 ^{2}}{2} = 6, 075 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 8 ^{2} + 2 \cdot 5 , 5 ^{2} - 5 , 3 ^{2}}{2} = 6, 207 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 5 ^{2} + 2 \cdot 5 , 3 ^{2} - 7 , 8 ^{2}}{2} = 3, 736

Vypočítat další trojúhelník