Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 59 b = 61 c = 47

Obsah trojúhelníku: S = 1296,17659863151
Obvod trojúhelníku: o = 167
Semiperimeter (poloobvod): s = 83,5

Úhel ∠ A = α = 64,7166245824° = 64°42'58″ = 1,13295115692 rad
Úhel ∠ B = β = 69,20546769737° = 69°12'17″ = 1,2087849471 rad
Úhel ∠ C = γ = 46,07990772022° = 46°4'45″ = 0,80442316135 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 43,93881690276
Výška trojúhelníku: v_b = 42,49875733218
Výška trojúhelníku: v_c = 55,15664249496

Těžnice: t_a = 45,76884389072
Těžnice: t_b = 43,75878564374
Těžnice: t_c = 55,21554869579

Poloměr vepsané kružnice: r = 15,52330657044
Poloměr opsané kružnice: R = 32,62553922665

Souřadnice vrcholů: A[47; 0] B[0; 0] C[20,94768085106; 55,15664249496]
Těžiště: T[22,64989361702; 18,38554749832]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[23,5; 22,63110896898]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[22,5; 15,52330657044]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 115,2843754176° = 115°17'1″ = 1,13295115692 rad
∠ B' = β' = 110,79553230263° = 110°47'43″ = 1,2087849471 rad
∠ C' = γ' = 133,92109227978° = 133°55'15″ = 0,80442316135 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 59 b = 61 c = 47

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 59 + 61 + 47 = 167

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 6 7}{2} = 83, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 83, 5 (83, 5 - 59) (83, 5 - 61) (83, 5 - 47) S = 1680072, 19 = 1296, 18

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 9 6 , 1 8}{5 9} = 43, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 9 6 , 1 8}{6 1} = 42, 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 9 6 , 1 8}{4 7} = 55, 16

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 1 ^{2} + 4 7 ^{2} - 5 9 ^{2}}{2 \cdot 6 1 \cdot 4 7}) = 64 ° 4 2^{'} 58 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 9 ^{2} + 4 7 ^{2} - 6 1 ^{2}}{2 \cdot 5 9 \cdot 4 7}) = 69 ° 1 2^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 64 ° 4 2^{'} 58 " - 69 ° 1 2^{'} 17 " = 46 ° 4^{'} 45 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 9 6 , 1 8}{8 3 , 5} = 15, 52

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 9 \cdot 6 1 \cdot 4 7}{4 \cdot 1 5 , 5 2 3 \cdot 8 3 , 5} = 32, 63

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 1 ^{2} + 2 \cdot 4 7 ^{2} - 5 9 ^{2}}{2} = 45, 768 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 7 ^{2} + 2 \cdot 5 9 ^{2} - 6 1 ^{2}}{2} = 43, 758 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 9 ^{2} + 2 \cdot 6 1 ^{2} - 4 7 ^{2}}{2} = 55, 215

Vypočítat další trojúhelník