Výpočet trojúhelníku - výsledek




Prosím zadejte co o trojúhelníku víte:
Definice symbolů ABC trojúhelníku

Zadané strana a, b a c.

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 13   b = 14   c = 15

Obsah trojúhelníku: S = 84
Obvod trojúhelníku: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21

Úhel ∠ A = α = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Úhel ∠ B = β = 59,49897625939° = 59°29'23″ = 1,03882922285 rad
Úhel ∠ C = γ = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad

Výška trojúhelníku: va = 12,92330769231
Výška trojúhelníku: vb = 12
Výška trojúhelníku: vc = 11,2

Těžnice: ta = 12,97111217711
Těžnice: tb = 12,16655250606
Těžnice: tc = 11,23661025271

Poloměr vepsané kružnice: r = 4
Poloměr opsané kružnice: R = 8,125

Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[6,6; 11,2]
Těžiště: T[7,2; 3,73333333333]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 3,125]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 4]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 126,8769897646° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ B' = β' = 120,5110237406° = 120°30'37″ = 1,03882922285 rad
∠ C' = γ' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad

Vypočítat další trojúhelník




Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strana a, b a c.

a=13 b=14 c=15

2. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=13+14+15=42

3. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=422=21

4. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=21(2113)(2114)(2115) S=7056=84

5. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2 8413=12.92 vb=2 Sb=2 8414=12 vc=2 Sc=2 8415=11.2

6. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(142+1521322 14 15)=53748"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(132+1521422 13 15)=592923" γ=180αβ=18053748"592923"=672249"

7. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=8421=4

8. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=13 14 154 4 21=8.13

9. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2a22=2 142+2 1521322=12.971 tb=2c2+2a2b22=2 152+2 1321422=12.166 tc=2a2+2b2c22=2 132+2 1421522=11.236

Vypočítat další trojúhelník