Výpočet trojúhelníku - výsledek

Zadané strany a, b a úhel α.

Trojúhelník má dvě řešení: a=13; b=14; c=2.21113544315 a a=13; b=14; c=12.2109711666.

#1 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 13 b = 14 c = 2,21113544315

Obsah trojúhelníku: S = 13,26985049627
Obvod trojúhelníku: o = 29,21113544315
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,60656772158

Úhel ∠ A = α = 59° = 1,03297442587 rad
Úhel ∠ B = β = 112,61659431901° = 112°36'57″ = 1,96655189989 rad
Úhel ∠ C = γ = 8,38440568099° = 8°23'3″ = 0,1466329396 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 2,04113084558
Výška trojúhelníku: v_b = 1,8965500709
Výška trojúhelníku: v_c = 122,0003422098

Těžnice: t_a = 7,62985676382
Těžnice: t_b = 6,16599548871
Těžnice: t_c = 13,46439324825

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,90884484592
Poloměr opsané kružnice: R = 7,58331170819

Souřadnice vrcholů: A[2,21113544315; 0] B[0; 0] C[-4,99991786172; 122,0003422098]
Těžiště: T[-0,92992747286; 44,0001140699]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,10656772158; 7,50220758842]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,60656772158; 0,90884484592]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 121° = 1,03297442587 rad
∠ B' = β' = 67,38440568099° = 67°23'3″ = 1,96655189989 rad
∠ C' = γ' = 171,61659431901° = 171°36'57″ = 0,1466329396 rad

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Zadané vstupní údaje: strany a, b a úhel α.

a = 13 b = 14 α = 59 °

2. Z úhlu α, strany b a strany a vypočítáme stranu c - použitím kosinové věty a vzniklé kvadratické rovnice:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α 1 3^{2} = 1 4^{2} + c^{2} - 2 \cdot 14 \cdot c \cdot cos 59 ° c^{2} - 14, 421 c + 27 = 0 p = 1; q = - 14, 421; r = 27 D = q^{2} - 4 p r = 14, 42 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 99, 9671473879 D > 0 c_{1, 2} = \frac{- q \pm D}{2 p} = \frac{1 4 , 4 2 \pm 9 9 , 9 7}{2} c_{1, 2} = 7, 210533 \pm 4, 999179 c_{1} = 12, 209711666 c_{2} = 2, 211354432 c > 0 c = 12, 21

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.

a = 13 b = 14 c = 2, 21

3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 13 + 14 + 2, 21 = 29, 21

4. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9 , 2 1}{2} = 14, 61

5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 61 (14, 61 - 13) (14, 61 - 14) (14, 61 - 2, 21) S = 176, 05 = 13, 27

6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 7}{1 3} = 2, 04 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 7}{1 4} = 1, 9 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 7}{2 , 2 1} = 12

7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 , 2 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 , 2 1}) = 59 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 , 2 1 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 , 2 1}) = 112 ° 3 6^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 59 ° - 112 ° 3 6^{'} 57 " = 8 ° 2 3^{'} 3 "

8. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 2 7}{1 4 , 6 1} = 0, 91

9. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 4 \cdot 2 , 2 1}{4 \cdot 0 , 9 0 8 \cdot 1 4 , 6 0 6} = 7, 58

10. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 , 2 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 7, 629 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 2 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 6, 16 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 , 2 1 ^{2}}{2} = 13, 464

#2 Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 13 b = 14 c = 12,2109711666

Obsah trojúhelníku: S = 73,26603591375
Obvod trojúhelníku: o = 39,2109711666
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,6054855833

Úhel ∠ A = α = 59° = 1,03297442587 rad
Úhel ∠ B = β = 67,38440568099° = 67°23'3″ = 1,17660736547 rad
Úhel ∠ C = γ = 53,61659431901° = 53°36'57″ = 0,93657747402 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 11,27108244827
Výška trojúhelníku: v_b = 10,46657655911
Výška trojúhelníku: v_c = 122,0003422098

Těžnice: t_a = 11,4144400093
Těžnice: t_b = 10,49899251419
Těžnice: t_c = 12,05111715305

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,73768476342
Poloměr opsané kružnice: R = 7,58331170819

Souřadnice vrcholů: A[12,2109711666; 0] B[0; 0] C[4,99991786172; 122,0003422098]
Těžiště: T[5,73662967611; 44,0001140699]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,1054855833; 4,49882663256]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,6054855833; 3,73768476342]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 121° = 1,03297442587 rad
∠ B' = β' = 112,61659431901° = 112°36'57″ = 1,17660736547 rad
∠ C' = γ' = 126,38440568099° = 126°23'3″ = 0,93657747402 rad

Vypočítat další trojúhelník