Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 10,77 b = 8,94 c = 7,21Obsah trojúhelníku: S = 31,98221676876
Obvod trojúhelníku: o = 26,92
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,46
Úhel ∠ A = α = 82,9098625957° = 82°54'31″ = 1,44770285013 rad
Úhel ∠ B = β = 55,46603343505° = 55°27'37″ = 0,96879654387 rad
Úhel ∠ C = γ = 41,63110396925° = 41°37'52″ = 0,72765987137 rad
Výška trojúhelníku: va = 5,93991212048
Výška trojúhelníku: vb = 7,15548473574
Výška trojúhelníku: vc = 8,8721613783
Těžnice: ta = 6,07991138334
Těžnice: tb = 88,0004749859
Těžnice: tc = 9,21774955926
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,37660897242
Poloměr opsané kružnice: R = 5,42765098975
Souřadnice vrcholů: A[7,21; 0] B[0; 0] C[6,10663384189; 8,8721613783]
Těžiště: T[4,4398779473; 2,95772045943]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,605; 4,05659813446]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,52; 2,37660897242]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 97,0911374043° = 97°5'29″ = 1,44770285013 rad
∠ B' = β' = 124,54396656495° = 124°32'23″ = 0,96879654387 rad
∠ C' = γ' = 138,36989603075° = 138°22'8″ = 0,72765987137 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10,77 b=8,94 c=7,21
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10,77+8,94+7,21=26,92
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=226,92=13,46
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,46(13,46−10,77)(13,46−8,94)(13,46−7,21) S=1022,86=31,98
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=10,772⋅ 31,98=5,94 vb=b2 S=8,942⋅ 31,98=7,15 vc=c2 S=7,212⋅ 31,98=8,87
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8,94⋅ 7,218,942+7,212−10,772)=82°54′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10,77⋅ 7,2110,772+7,212−8,942)=55°27′37" γ=180°−α−β=180°−82°54′31"−55°27′37"=41°37′52"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,4631,98=2,38
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,376⋅ 13,4610,77⋅ 8,94⋅ 7,21=5,43
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 8,942+2⋅ 7,212−10,772=6,079 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 7,212+2⋅ 10,772−8,942=8 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 10,772+2⋅ 8,942−7,212=9,217
Vypočítat další trojúhelník