Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek




Prosím zadejte tři strany trojúhelníku:


Pravoúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 12   b = 5   c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 30
Obvod trojúhelníku: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15

Úhel ∠ A = α = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Úhel ∠ B = β = 22,6219864948° = 22°37'11″ = 0,39547911197 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojúhelníku: va = 5
Výška trojúhelníku: vb = 12
Výška trojúhelníku: vc = 4,61553846154

Těžnice: ta = 7,81102496759
Těžnice: tb = 12,25876506721
Těžnice: tc = 6,5

Poloměr vepsané kružnice: r = 2
Poloměr opsané kružnice: R = 6,5

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[11,07769230769; 4,61553846154]
Těžiště: T[8,02656410256; 1,53884615385]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 2]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
∠ B' = β' = 157,3880135052° = 157°22'49″ = 0,39547911197 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=5 c=13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=12+5+13=30

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=230=15

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=15(1512)(155)(1513) S=900=30

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=122 30=5 vb=b2 S=52 30=12 vc=c2 S=132 30=4,62

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 5 1352+132122)=67°2249"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 12 13122+13252)=22°3711" γ=180°αβ=180°67°2249"22°3711"=90°

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=1530=2

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 2 1512 5 13=6,5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 52+2 132122=7,81 tb=22c2+2a2b2=22 132+2 12252=12,258 tc=22a2+2b2c2=22 122+2 52132=6,5

Vypočítat další trojúhelník