Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Pravoúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 13,6 b = 57 c = 58,6

Obsah trojúhelníku: S = 387,6
Obvod trojúhelníku: o = 129,2
Semiperimeter (poloobvod): s = 64,6

Úhel ∠ A = α = 13,42196736155° = 13°25'11″ = 0,23442174891 rad
Úhel ∠ B = β = 76,58803263845° = 76°34'49″ = 1,33765788377 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 57
Výška trojúhelníku: v_b = 13,6
Výška trojúhelníku: v_c = 13,2298668942

Těžnice: t_a = 57,40441810324
Těžnice: t_b = 31,5798632016
Těžnice: t_c = 29,3

Poloměr vepsané kružnice: r = 6
Poloměr opsané kružnice: R = 29,3

Souřadnice vrcholů: A[58,6; 0] B[0; 0] C[3,15663139932; 13,2298668942]
Těžiště: T[20,58554379977; 4,4109556314]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[29,3; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,6; 6]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,58803263845° = 166°34'49″ = 0,23442174891 rad
∠ B' = β' = 103,42196736155° = 103°25'11″ = 1,33765788377 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 13, 6 b = 57 c = 58, 6

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 13, 6 + 57 + 58, 6 = 129, 2

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 2 9 , 2}{2} = 64, 6

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 64, 6 (64, 6 - 13, 6) (64, 6 - 57) (64, 6 - 58, 6) S = 150233, 76 = 387, 6

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 8 7 , 6}{1 3 , 6} = 57 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 8 7 , 6}{5 7} = 13, 6 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 8 7 , 6}{5 8 , 6} = 13, 23

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 7 ^{2} + 5 8 , 6 ^{2} - 1 3 , 6 ^{2}}{2 \cdot 5 7 \cdot 5 8 , 6}) = 13 ° 2 5^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 , 6 ^{2} + 5 8 , 6 ^{2} - 5 7 ^{2}}{2 \cdot 1 3 , 6 \cdot 5 8 , 6}) = 76 ° 3 4^{'} 49 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 2 5^{'} 11 " - 76 ° 3 4^{'} 49 " = 90 °

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 8 7 , 6}{6 4 , 6} = 6

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 , 6 \cdot 5 7 \cdot 5 8 , 6}{4 \cdot 6 \cdot 6 4 , 6} = 29, 3

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 7 ^{2} + 2 \cdot 5 8 , 6 ^{2} - 1 3 , 6 ^{2}}{2} = 57, 404 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 8 , 6 ^{2} + 2 \cdot 1 3 , 6 ^{2} - 5 7 ^{2}}{2} = 31, 579 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 , 6 ^{2} + 2 \cdot 5 7 ^{2} - 5 8 , 6 ^{2}}{2} = 29, 3

Vypočítat další trojúhelník