Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 142 b = 142 c = 190

Obsah trojúhelníku: S = 10026,4398799494
Obvod trojúhelníku: o = 474
Semiperimeter (poloobvod): s = 237

Úhel ∠ A = α = 48,00989830931° = 48°32″ = 0,83879148255 rad
Úhel ∠ B = β = 48,00989830931° = 48°32″ = 0,83879148255 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,98220338138° = 83°58'55″ = 1,46657630026 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 141,21774478802
Výška trojúhelníku: v_b = 141,21774478802
Výška trojúhelníku: v_c = 105,54114610473

Těžnice: t_a = 151,9577230825
Těžnice: t_b = 151,9577230825
Těžnice: t_c = 105,54114610473

Poloměr vepsané kružnice: r = 42,3065648943
Poloměr opsané kružnice: R = 95,52664395618

Souřadnice vrcholů: A[190; 0] B[0; 0] C[95; 105,54114610473]
Těžiště: T[95; 35,18804870158]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[95; 10,01550214855]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[95; 42,3065648943]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 131,99110169069° = 131°59'28″ = 0,83879148255 rad
∠ B' = β' = 131,99110169069° = 131°59'28″ = 0,83879148255 rad
∠ C' = γ' = 96,01879661862° = 96°1'5″ = 1,46657630026 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 142 b = 142 c = 190

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 142 + 142 + 190 = 474

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7 4}{2} = 237

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 237 (237 - 142) (237 - 142) (237 - 190) S = 100529475 = 10026, 44

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 0 2 6 , 4 4}{1 4 2} = 141, 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 0 2 6 , 4 4}{1 4 2} = 141, 22 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 0 2 6 , 4 4}{1 9 0} = 105, 54

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 2 ^{2} + 1 9 0 ^{2} - 1 4 2 ^{2}}{2 \cdot 1 4 2 \cdot 1 9 0}) = 48 ° 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 2 ^{2} + 1 9 0 ^{2} - 1 4 2 ^{2}}{2 \cdot 1 4 2 \cdot 1 9 0}) = 48 ° 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 32 " - 48 ° 32 " = 83 ° 5 8^{'} 55 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 0 2 6 , 4 4}{2 3 7} = 42, 31

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 2 \cdot 1 4 2 \cdot 1 9 0}{4 \cdot 4 2 , 3 0 6 \cdot 2 3 7} = 95, 53

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 2 ^{2} + 2 \cdot 1 9 0 ^{2} - 1 4 2 ^{2}}{2} = 151, 957 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 4 2 ^{2} - 1 4 2 ^{2}}{2} = 151, 957 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 2 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2} = 105, 541

Vypočítat další trojúhelník