Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 158 b = 185 c = 201

Obsah trojúhelníku: S = 13839,6688204115
Obvod trojúhelníku: o = 544
Semiperimeter (poloobvod): s = 272

Úhel ∠ A = α = 48,10548720485° = 48°6'18″ = 0,84395884035 rad
Úhel ∠ B = β = 60,64216595114° = 60°38'30″ = 1,05883966223 rad
Úhel ∠ C = γ = 71,25334684402° = 71°15'12″ = 1,24436076277 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 175,18656734698
Výška trojúhelníku: v_b = 149,61880346391
Výška trojúhelníku: v_c = 137,70881413345

Těžnice: t_a = 176,27325162922
Těžnice: t_b = 155,32662695103
Těžnice: t_c = 139,62218106171

Poloměr vepsané kružnice: r = 50,88111331034
Poloměr opsané kružnice: R = 106,13302538715

Souřadnice vrcholů: A[201; 0] B[0; 0] C[77,46326865672; 137,70881413345]
Těžiště: T[92,82108955224; 45,90327137782]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[100,5; 34,10883682815]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[87; 50,88111331034]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 131,89551279515° = 131°53'42″ = 0,84395884035 rad
∠ B' = β' = 119,35883404886° = 119°21'30″ = 1,05883966223 rad
∠ C' = γ' = 108,74765315598° = 108°44'48″ = 1,24436076277 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 158 b = 185 c = 201

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 158 + 185 + 201 = 544

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4 4}{2} = 272

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 272 (272 - 158) (272 - 185) (272 - 201) S = 191536416 = 13839, 67

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 8 3 9 , 6 7}{1 5 8} = 175, 19 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 8 3 9 , 6 7}{1 8 5} = 149, 62 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 8 3 9 , 6 7}{2 0 1} = 137, 71

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 5 ^{2} + 2 0 1 ^{2} - 1 5 8 ^{2}}{2 \cdot 1 8 5 \cdot 2 0 1}) = 48 ° 6^{'} 18 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 8 ^{2} + 2 0 1 ^{2} - 1 8 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 8 \cdot 2 0 1}) = 60 ° 3 8^{'} 30 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 6^{'} 18 " - 60 ° 3 8^{'} 30 " = 71 ° 1 5^{'} 12 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 8 3 9 , 6 7}{2 7 2} = 50, 88

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 8 \cdot 1 8 5 \cdot 2 0 1}{4 \cdot 5 0 , 8 8 1 \cdot 2 7 2} = 106, 13

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 5 ^{2} + 2 \cdot 2 0 1 ^{2} - 1 5 8 ^{2}}{2} = 176, 273 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 8 ^{2} - 1 8 5 ^{2}}{2} = 155, 326 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 8 ^{2} + 2 \cdot 1 8 5 ^{2} - 2 0 1 ^{2}}{2} = 139, 622

Vypočítat další trojúhelník