Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 17,32 b = 10 c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 86.65999998882
Obvod trojúhelníku: o = 47,32
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,66

Úhel ∠ A = α = 59,99770889407° = 59°59'50″ = 1,04771467436 rad
Úhel ∠ B = β = 309,9999999573° = 30° = 0,52435987749 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,0032911102° = 90°10″ = 1,57108471351 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 10.9999999871
Výška trojúhelníku: v_b = 17,32199999776
Výška trojúhelníku: v_c = 8,66599999888

Těžnice: t_a = 13,22989228586
Těžnice: t_b = 18,02875123076
Těžnice: t_c = 10.9995599903

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,66601859632
Poloměr opsané kružnice: R = 100,0000000129

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[154,99956; 8,66599999888]
Těžiště: T[11,667652; 2,88766666629]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -0,00105080831]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[13,66; 3,66601859632]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 120,00329110593° = 120°10″ = 1,04771467436 rad
∠ B' = β' = 1500,0000000427° = 150° = 0,52435987749 rad
∠ C' = γ' = 89,9977088898° = 89°59'50″ = 1,57108471351 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 17, 32 b = 10 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 17, 32 + 10 + 20 = 47, 32

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7 , 3 2}{2} = 23, 66

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23, 66 (23, 66 - 17, 32) (23, 66 - 10) (23, 66 - 20) S = 7499, 56 = 86, 6

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 6 , 6}{1 7 , 3 2} = 10 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 6 , 6}{1 0} = 17, 32 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 6 , 6}{2 0} = 8, 66

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 7 , 3 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 0}) = 59 ° 5 9^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 7 , 3 2 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 7 , 3 2 \cdot 2 0}) = 30 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 59 ° 5 9^{'} 50 " - 30 ° = 90 ° 10 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 6 , 6}{2 3 , 6 6} = 3, 66

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 7 , 3 2 \cdot 1 0 \cdot 2 0}{4 \cdot 3 , 6 6 \cdot 2 3 , 6 6} = 10

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 7 , 3 2 ^{2}}{2} = 13, 229 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 7 , 3 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 18, 028 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 , 3 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 10

Vypočítat další trojúhelník