Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 2 b = 1,5 c = 3Obsah trojúhelníku: S = 1,3333170563
Obvod trojúhelníku: o = 6,5
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,25
Úhel ∠ A = α = 36,33660575146° = 36°20'10″ = 0,63441838408 rad
Úhel ∠ B = β = 26,38443297494° = 26°23'4″ = 0,46604934251 rad
Úhel ∠ C = γ = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 2,04769153877 rad
Výška trojúhelníku: va = 1,3333170563
Výška trojúhelníku: vb = 1,77875607506
Výška trojúhelníku: vc = 0,88987803753
Těžnice: ta = 2,15105813168
Těžnice: tb = 2,43766985862
Těžnice: tc = 0,93554143467
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,41102063271
Poloměr opsané kružnice: R = 1,68877060314
Souřadnice vrcholů: A[3; 0] B[0; 0] C[1,79216666667; 0,88987803753]
Těžiště: T[1,59772222222; 0,29662601251]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,5; -0,7743531931]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,75; 0,41102063271]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,66439424854° = 143°39'50″ = 0,63441838408 rad
∠ B' = β' = 153,61656702506° = 153°36'56″ = 0,46604934251 rad
∠ C' = γ' = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 2,04769153877 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=1,5 c=3
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+1,5+3=6,5
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=26,5=3,25
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=3,25(3,25−2)(3,25−1,5)(3,25−3) S=1,78=1,33
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 1,33=1,33 vb=b2 S=1,52⋅ 1,33=1,78 vc=c2 S=32⋅ 1,33=0,89
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 1,5⋅ 31,52+32−22)=36°20′10" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 322+32−1,52)=26°23′4" γ=180°−α−β=180°−36°20′10"−26°23′4"=117°16′47"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=3,251,33=0,41
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,41⋅ 3,252⋅ 1,5⋅ 3=1,69
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 1,52+2⋅ 32−22=2,151 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 32+2⋅ 22−1,52=2,437 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 1,52−32=0,935
Vypočítat další trojúhelník