Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Pravoúhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 20 b = 21 c = 29Obsah trojúhelníku: S = 210
Obvod trojúhelníku: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35
Úhel ∠ A = α = 43,60328189727° = 43°36'10″ = 0,76110127542 rad
Úhel ∠ B = β = 46,39771810273° = 46°23'50″ = 0,81097835726 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojúhelníku: va = 21
Výška trojúhelníku: vb = 20
Výška trojúhelníku: vc = 14,48327586207
Těžnice: ta = 23,25994066992
Těžnice: tb = 22,58987139962
Těžnice: tc = 14,5
Poloměr vepsané kružnice: r = 6
Poloměr opsané kružnice: R = 14,5
Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[13,79331034483; 14,48327586207]
Těžiště: T[14,26443678161; 4,82875862069]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14; 6]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 136,39771810273° = 136°23'50″ = 0,76110127542 rad
∠ B' = β' = 133,60328189727° = 133°36'10″ = 0,81097835726 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=20 b=21 c=29
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=20+21+29=70
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=270=35
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=35(35−20)(35−21)(35−29) S=44100=210
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 210=21 vb=b2 S=212⋅ 210=20 vc=c2 S=292⋅ 210=14,48
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 29212+292−202)=43°36′10" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 29202+292−212)=46°23′50" γ=180°−α−β=180°−43°36′10"−46°23′50"=90°
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=35210=6
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 6⋅ 3520⋅ 21⋅ 29=14,5
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 292−202=23,259 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 292+2⋅ 202−212=22,589 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 212−292=14,5
Vypočítat další trojúhelník