Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek




Prosím zadejte tři strany trojúhelníku:


Pravoúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 20   b = 21   c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 210
Obvod trojúhelníku: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35

Úhel ∠ A = α = 43,60328189727° = 43°36'10″ = 0,76110127542 rad
Úhel ∠ B = β = 46,39771810273° = 46°23'50″ = 0,81097835726 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojúhelníku: va = 21
Výška trojúhelníku: vb = 20
Výška trojúhelníku: vc = 14,48327586207

Těžnice: ta = 23,25994066992
Těžnice: tb = 22,58987139962
Těžnice: tc = 14,5

Poloměr vepsané kružnice: r = 6
Poloměr opsané kružnice: R = 14,5

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[13,79331034483; 14,48327586207]
Těžiště: T[14,26443678161; 4,82875862069]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14; 6]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 136,39771810273° = 136°23'50″ = 0,76110127542 rad
∠ B' = β' = 133,60328189727° = 133°36'10″ = 0,81097835726 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=20 b=21 c=29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=20+21+29=70

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=270=35

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=35(3520)(3521)(3529) S=44100=210

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=202 210=21 vb=b2 S=212 210=20 vc=c2 S=292 210=14,48

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 21 29212+292202)=43°3610"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 20 29202+292212)=46°2350" γ=180°αβ=180°43°3610"46°2350"=90°

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=35210=6

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 6 3520 21 29=14,5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 212+2 292202=23,259 tb=22c2+2a2b2=22 292+2 202212=22,589 tc=22a2+2b2c2=22 202+2 212292=14,5

Vypočítat další trojúhelník