Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 23,1 b = 23,1 c = 37,8

Obsah trojúhelníku: S = 251,02216006642
Obvod trojúhelníku: o = 84
Semiperimeter (poloobvod): s = 42

Úhel ∠ A = α = 35,09768012276° = 35°5'48″ = 0,61325547383 rad
Úhel ∠ B = β = 35,09768012276° = 35°5'48″ = 0,61325547383 rad
Úhel ∠ C = γ = 109,80663975448° = 109°48'23″ = 1,91664831769 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 21,7333471919
Výška trojúhelníku: v_b = 21,7333471919
Výška trojúhelníku: v_c = 13,28215661727

Těžnice: t_a = 29,11773917101
Těžnice: t_b = 29,11773917101
Těžnice: t_c = 13,28215661727

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,97767047777
Poloměr opsané kružnice: R = 20,08883688362

Souřadnice vrcholů: A[37,8; 0] B[0; 0] C[18,9; 13,28215661727]
Těžiště: T[18,9; 4,42771887242]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[18,9; -6,80768026635]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[18,9; 5,97767047777]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,90331987724° = 144°54'12″ = 0,61325547383 rad
∠ B' = β' = 144,90331987724° = 144°54'12″ = 0,61325547383 rad
∠ C' = γ' = 70,19436024552° = 70°11'37″ = 1,91664831769 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 23, 1 b = 23, 1 c = 37, 8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 23, 1 + 23, 1 + 37, 8 = 84

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 4}{2} = 42

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 42 (42 - 23, 1) (42 - 23, 1) (42 - 37, 8) S = 63011, 84 = 251, 02

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 5 1 , 0 2}{2 3 , 1} = 21, 73 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 5 1 , 0 2}{2 3 , 1} = 21, 73 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 5 1 , 0 2}{3 7 , 8} = 13, 28

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 , 1 ^{2} + 3 7 , 8 ^{2} - 2 3 , 1 ^{2}}{2 \cdot 2 3 , 1 \cdot 3 7 , 8}) = 35 ° 5^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 3 , 1 ^{2} + 3 7 , 8 ^{2} - 2 3 , 1 ^{2}}{2 \cdot 2 3 , 1 \cdot 3 7 , 8}) = 35 ° 5^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 5^{'} 48 " - 35 ° 5^{'} 48 " = 109 ° 4 8^{'} 23 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 5 1 , 0 2}{4 2} = 5, 98

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 3 , 1 \cdot 2 3 , 1 \cdot 3 7 , 8}{4 \cdot 5 , 9 7 7 \cdot 4 2} = 20, 09

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 , 1 ^{2} + 2 \cdot 3 7 , 8 ^{2} - 2 3 , 1 ^{2}}{2} = 29, 117 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 7 , 8 ^{2} + 2 \cdot 2 3 , 1 ^{2} - 2 3 , 1 ^{2}}{2} = 29, 117 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 , 1 ^{2} + 2 \cdot 2 3 , 1 ^{2} - 3 7 , 8 ^{2}}{2} = 13, 282

Vypočítat další trojúhelník