Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 4 b = 9 c = 6Obsah trojúhelníku: S = 9,56222957495
Obvod trojúhelníku: o = 19
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,5
Úhel ∠ A = α = 20,74219164807° = 20°44'31″ = 0,36220147358 rad
Úhel ∠ B = β = 127,1698899656° = 127°10'8″ = 2,22195160051 rad
Úhel ∠ C = γ = 32,08991838633° = 32°5'21″ = 0,56600619127 rad
Výška trojúhelníku: va = 4,78111478747
Výška trojúhelníku: vb = 2,1254954611
Výška trojúhelníku: vc = 3,18774319165
Těžnice: ta = 7,38224115301
Těžnice: tb = 2,39879157617
Těžnice: tc = 6,2854902545
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,00765574473
Poloměr opsané kružnice: R = 5,64771794447
Souřadnice vrcholů: A[6; 0] B[0; 0] C[-2,41766666667; 3,18774319165]
Těžiště: T[1,19444444444; 1,06224773055]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3; 4,78444159184]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,5; 1,00765574473]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 159,25880835193° = 159°15'29″ = 0,36220147358 rad
∠ B' = β' = 52,8311100344° = 52°49'52″ = 2,22195160051 rad
∠ C' = γ' = 147,91108161367° = 147°54'39″ = 0,56600619127 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=9 c=6
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+9+6=19
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=219=9,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9,5(9,5−4)(9,5−9)(9,5−6) S=91,44=9,56
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 9,56=4,78 vb=b2 S=92⋅ 9,56=2,12 vc=c2 S=62⋅ 9,56=3,19
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 692+62−42)=20°44′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 642+62−92)=127°10′8" γ=180°−α−β=180°−20°44′31"−127°10′8"=32°5′21"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=9,59,56=1,01
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,007⋅ 9,54⋅ 9⋅ 6=5,65
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 62−42=7,382 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 62+2⋅ 42−92=2,398 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 92−62=6,285
Vypočítat další trojúhelník