Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 5 b = 12,09 c = 8

Obsah trojúhelníku: S = 13,99106404928
Obvod trojúhelníku: o = 25,09
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,545

Úhel ∠ A = α = 16,81661671688° = 16°48'58″ = 0,29334974847 rad
Úhel ∠ B = β = 135,61105296795° = 135°36'38″ = 2,36768502433 rad
Úhel ∠ C = γ = 27,57333031517° = 27°34'24″ = 0,48112449256 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 5,59662561971
Výška trojúhelníku: v_b = 2,31444153007
Výška trojúhelníku: v_c = 3,49876601232

Těžnice: t_a = 9,94215315721
Těžnice: t_b = 2,8210988302
Těžnice: t_c = 8,34217054611

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,11552363884
Poloměr opsané kružnice: R = 8,64114914358

Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[-3,573300625; 3,49876601232]
Těžiště: T[1,47656645833; 1,16658867077]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; 7,66599852634]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,455; 1,11552363884]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,18438328312° = 163°11'2″ = 0,29334974847 rad
∠ B' = β' = 44,38994703205° = 44°23'22″ = 2,36768502433 rad
∠ C' = γ' = 152,42766968483° = 152°25'36″ = 0,48112449256 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 12, 09 c = 8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 12, 09 + 8 = 25, 09

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5 , 0 9}{2} = 12, 55

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 55 (12, 55 - 5) (12, 55 - 12, 09) (12, 55 - 8) S = 195, 74 = 13, 99

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 9 9}{5} = 5, 6 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 9 9}{1 2 , 0 9} = 2, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 9 9}{8} = 3, 5

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 , 0 9 ^{2} + 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 , 0 9 \cdot 8}) = 16 ° 4 8^{'} 58 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 1 2 , 0 9 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8}) = 135 ° 3 6^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 4 8^{'} 58 " - 135 ° 3 6^{'} 38 " = 27 ° 3 4^{'} 24 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 9 9}{1 2 , 5 5} = 1, 12

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 2 , 0 9 \cdot 8}{4 \cdot 1 , 1 1 5 \cdot 1 2 , 5 4 5} = 8, 64

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 , 0 9 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 9, 942 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 2 , 0 9 ^{2}}{2} = 2, 821 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 , 0 9 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 8, 342

Vypočítat další trojúhelník