Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 70 b = 95 c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 672,65221667995
Obvod trojúhelníku: o = 195
Semiperimeter (poloobvod): s = 97,5

Úhel ∠ A = α = 28,16765785968° = 28°10' = 0,49215995355 rad
Úhel ∠ B = β = 140,16218501944° = 140°9'43″ = 2,44662857716 rad
Úhel ∠ C = γ = 11,67215712088° = 11°40'18″ = 0,20437073465 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 19,21986333371
Výška trojúhelníku: v_b = 14,16110982484
Výška trojúhelníku: v_c = 44,84334777866

Těžnice: t_a = 61,13550963032
Těžnice: t_b = 25,37222289127
Těžnice: t_c = 82,08222757969

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,89989965826
Poloměr opsané kružnice: R = 74,1476791554

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[-53,75; 44,84334777866]
Těžiště: T[-7,91766666667; 14,94878259289]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 72,61436812023]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 6,89989965826]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,83334214032° = 151°50' = 0,49215995355 rad
∠ B' = β' = 39,83881498056° = 39°50'17″ = 2,44662857716 rad
∠ C' = γ' = 168,32884287912° = 168°19'42″ = 0,20437073465 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 70 b = 95 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 70 + 95 + 30 = 195

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9 5}{2} = 97, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 97, 5 (97, 5 - 70) (97, 5 - 95) (97, 5 - 30) S = 452460, 94 = 672, 65

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 7 2 , 6 5}{7 0} = 19, 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 7 2 , 6 5}{9 5} = 14, 16 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 7 2 , 6 5}{3 0} = 44, 84

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 7 0 ^{2}}{2 \cdot 9 5 \cdot 3 0}) = 28 ° 1 0^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 9 5 ^{2}}{2 \cdot 7 0 \cdot 3 0}) = 140 ° 9^{'} 43 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 28 ° 1 0^{'} - 140 ° 9^{'} 43 " = 11 ° 4 0^{'} 18 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 7 2 , 6 5}{9 7 , 5} = 6, 9

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 0 \cdot 9 5 \cdot 3 0}{4 \cdot 6 , 8 9 9 \cdot 9 7 , 5} = 74, 15

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 5 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 7 0 ^{2}}{2} = 61, 135 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 7 0 ^{2} - 9 5 ^{2}}{2} = 25, 372 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 0 ^{2} + 2 \cdot 9 5 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 82, 082

Vypočítat další trojúhelník