Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 9 b = 5 c = 10,3

Obsah trojúhelníku: S = 22.549998875
Obvod trojúhelníku: o = 24,3
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,15

Úhel ∠ A = α = 60,90216196911° = 60°54'6″ = 1,06329337834 rad
Úhel ∠ B = β = 29,04110845198° = 29°2'28″ = 0,50768625432 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,05772957891° = 90°3'26″ = 1,5721796327 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 54,9999975
Výška trojúhelníku: v_b = 98,9999955
Výška trojúhelníku: v_c = 4,36989298544

Těžnice: t_a = 6,7330156016
Těžnice: t_b = 9,34331793304
Těžnice: t_c = 5,14656292132

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,85218509259
Poloměr opsané kružnice: R = 5,1550002575

Souřadnice vrcholů: A[10,3; 0] B[0; 0] C[7,86884466019; 4,36989298544]
Těžiště: T[6,05661488673; 1,45663099515]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,15; -0,00551500026]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,15; 1,85218509259]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 119,09883803089° = 119°5'54″ = 1,06329337834 rad
∠ B' = β' = 150,95989154802° = 150°57'32″ = 0,50768625432 rad
∠ C' = γ' = 89,94327042109° = 89°56'34″ = 1,5721796327 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 5 c = 10, 3

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 5 + 10, 3 = 24, 3

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 4 , 3}{2} = 12, 15

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 15 (12, 15 - 9) (12, 15 - 5) (12, 15 - 10, 3) S = 506, 25 = 22, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 2 , 5}{9} = 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 2 , 5}{5} = 9 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 2 , 5}{1 0 , 3} = 4, 37

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 0 , 3 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 0 , 3}) = 60 ° 5 4^{'} 6 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 , 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0 , 3}) = 29 ° 2^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 60 ° 5 4^{'} 6 " - 29 ° 2^{'} 28 " = 90 ° 3^{'} 26 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 2 , 5}{1 2 , 1 5} = 1, 85

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 5 \cdot 1 0 , 3}{4 \cdot 1 , 8 5 2 \cdot 1 2 , 1 5} = 5, 15

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

Vypočítat další trojúhelník