Parabolická
Parabolická úseč má základnu a= 4 cm a výšku v= 6 cm. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací této úseče
a) kolem své základny
b) kolem své osy.
Předem děkuji za řešení.
a) kolem své základny
b) kolem své osy.
Předem děkuji za řešení.
Správná odpověď:
Zobrazuji 6 komentářů:
Žák
Va = pi*integrate (sqrt(2/3*x)2 dx from x=0 to 6
Vb = pi*integrate (-6/4*x2+6)2 dx from x=-2 to 2
Vb = pi*integrate (-6/4*x2+6)2 dx from x=-2 to 2
Aztli
Objem paraboloidu, bude 48 pi, pro kontrolu lze dvěma způsoby buď kolem osy Y z funkce I (2*pi * x * 3/8 * x2 dx od nuly do 4) nebo z inverzní funkce I (pi * ((8/3*x).5)2 dx od nuly do 6. Co je nejvíce pozoruhodné, že to bude přesně polovina objemu válce, který má takto pi * 42 * 6 = 96 pi.
Aztli
Co se týče druhého zadání, tak není zcela jasné, co má rotovat, zda kolem celé základny oblouk paraboly, či jen část. Tedy jen část oblouku paraboly, co je pod z úsečkou b nebo obě části paraboly pod úsečkou 2*b.V podstatě stačí počítat rotaci oblouku paraboly jen části pod úsečkou b, pokud by to mělo jako být pod jejím dvojnásobkem, bude podobně vzhledem k symetrii objem dvojnásobný.Čili můžeme nechat tedy rotovat část oblouku paraboly upravené na tvar y=3/8*x2-6 kolem osy x, pak to bude integral v mezích (0,4) z pi* (3/8*x2-6)2 dx = 384/5 pi.
Nebo funkci upravit, aby rotovala kolem osy y, pak bude mít tvar y=(8/3*(6-x)).5 a pak bude mít integrál tvar : v mezích od 0 do 6 z funkce 2pi * x * (8/3*(6-x)).5 dx a vyjde opět objem 384/5 * pi (musí se v absolutní hodnotě). Válec, ve kterém je tento objem obsažen má objem pi * 62*4 = 144pi, co je zajímavé je, že objem bude téměř polovina objemu válce, ale nikoliv přesně, ale nepatrně méně. Pokud by tedy rotoval kolem základny 2 * b, bude příslušný oblouk v prostoru vymezovat dvojnásobný objem v příslušném také dvojnásobné válci.
Nebo funkci upravit, aby rotovala kolem osy y, pak bude mít tvar y=(8/3*(6-x)).5 a pak bude mít integrál tvar : v mezích od 0 do 6 z funkce 2pi * x * (8/3*(6-x)).5 dx a vyjde opět objem 384/5 * pi (musí se v absolutní hodnotě). Válec, ve kterém je tento objem obsažen má objem pi * 62*4 = 144pi, co je zajímavé je, že objem bude téměř polovina objemu válce, ale nikoliv přesně, ale nepatrně méně. Pokud by tedy rotoval kolem základny 2 * b, bude příslušný oblouk v prostoru vymezovat dvojnásobný objem v příslušném také dvojnásobné válci.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
- algebra
- vyjádření neznámé ze vzorce
- aritmetika
- druhá mocnina
- planimetrie
- obsah
- základní funkce
- funkce, zobrazení
- integrál
Jednotky fyzikálních veličin:
Úroveň náročnosti úkolu:
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1
Související a podobné příklady:
- Podstavy 82687
Pokud je plášť kužele půlkruh, pak průměr podstavy kužele je stejný jako délka jeho strany. Dokažte. - Zemědělský
Zemědělský podnik Agro loni zasel pšenici na pozemcích s celkovou výměrou 29ha a žito na pozemcích s celkovou výměrou 18ha. Ze všech těchto pozemků sklidil celkem 137,4t obilí. Součet průměrných hektarových výnosů pšenice a žita se rovnal 5,8t. Kolik tun - Rovnostranný 71814
Rovnostranný trojúhelník má stejný obvod jako obdélník, jehož strany jsou b a h (b > h). Vezmeme-li v úvahu, že plocha trojúhelníku je 3krát větší než plocha obdélníku. Jaká je hodnota b/h? - Vypočítejte 62864
Objem kvádru je 1440 cm3, jeho povrch je 792 cm² a obsah jedné jeho stěny je 92 cm². Vypočítejte délky jeho stran. - Hippokratovy měsíčky.
Vypočítejte součet obsahů tzv. Hippokratových měsíčků, které byly setrojeny nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníka (a=6cm, b=8cm). Návod: vypočítejte nejprve obsahy polokruhů nad všemi stranami trojúhelníka ABC. Porovnejte součet obsahů měsíčků s obsahem - Poissonova rozdělení
Louka za FLD byla rozdělena na 100 stejně velkých částí. Následně bylo zjišteno, že v deseti z těchto částí se nenachází žádná sedmikráska. Odhadněte celkový počet sedmikrásek na louce. Předpokládejte přitom, že sedmikrásky jsou na louce rozmístěny náhodn - Květinová
Květinová zahrada má tvar čtverce. Nová zahrada má tvar obdélníku a její jeden rozměr je o 8 m menší a druhý je dvojnásobně větší než ve čtvercové zahradě. Jaké rozměry měla původní zahrada i nová zahrada, jestliže výměra obou zahrad je stejná? - Komolý
Komolý pravidelný čtyřboký jehlan má objem 74 cm3, výšku v = 6 cm a obsah dolní podstavy o 15 cm² větší než obsah horní podstavy. Vypočítejte obsah horní podstavy. - Rovnoramenný 44111
Rovnoramenný trojúhelník má plochu 168 cm² a jeho výška a základna jsou 370 cm. Jaké jsou velikosti jeho výšky a základny? - Na louce
Na louce přistála kosmická loď ve tvaru koule o průměru 6 m. Aby nepoutala pozornost, zakryli ji marťanci střechou ve tvaru pravidelného kužele. Jak vysoká bude tato střecha, aby spotřeba krytiny byla minimální? - Střecha
Střecha věže má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož podstavná hrana je dlouhá 11 m a boční stěna svírá s podstavou úhel velikosti 57°. Vypočtěte kolik krytiny potřebujeme na pokrytí celé střechy, pokud počítáme s 15% -ním odpadem. - Megapizza
Megapizza bude rozdělena mezi 100 lidí. 1. dostane 1%, 2. 2% ze zbytku, 3. 3% ze zbytku atd. Poslední 100. 100% ze zbytku. Který člověk dostal největší porci? - Jaký tlak
Jaký tlak působí na koleje, když na nich stojí 10 tunová lokomotiva s 8 koly a každé kolo má styčnou plochu 4cm2 - Obsah 29
Obsah vodorovné desky je 0,80m². Atmosférický tlak v okolí desky je 1100 hPa. 1. Jak velkou tlakovou silou působí vzduch shora na desku? 2. Jaký je její směr? 3. Je velikost této síly jiná, je-li deska šikmá? 4. Je její směr jiný? - Vypočtěte 12
Vypočtěte povrch a objem pravidelného devítibokého jehlanu, měří-li poloměr kružnice vepsané podstavě ρ= 12 cm a výška jehlanu je 24 cm - Měděné vinutí
Vypočítejte proud, který prochází měděným vinutím při provozní teplotě 70st. Celsia, je-li průměr vinutí 1,128 mm a délka vinutí 40m. Vinutí je připojeno na napětí 8V. - Souřadnice vrcholů
Jsou dány souřadnice vrcholů trojúhelníku: P (-12,6), Q (4,0), R (-8, -6). Načrtněte obrázek trojúhelníku. Najděte obsah trojúhelníku.