Parabolická
Parabolická úseč má základnu a= 4 cm a výšku v= 6 cm. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací této úseče
a) kolem své základny
b) kolem své osy.
Předem děkuji za řešení.
a) kolem své základny
b) kolem své osy.
Předem děkuji za řešení.
Správná odpověď:
Zobrazuji 6 komentářů:
Žák
Va = pi*integrate (sqrt(2/3*x)2 dx from x=0 to 6
Vb = pi*integrate (-6/4*x2+6)2 dx from x=-2 to 2
Vb = pi*integrate (-6/4*x2+6)2 dx from x=-2 to 2
Aztli
Objem paraboloidu, bude 48 pi, pro kontrolu lze dvěma způsoby buď kolem osy Y z funkce I (2*pi * x * 3/8 * x2 dx od nuly do 4) nebo z inverzní funkce I (pi * ((8/3*x).5)2 dx od nuly do 6. Co je nejvíce pozoruhodné, že to bude přesně polovina objemu válce, který má takto pi * 42 * 6 = 96 pi.
Aztli
Co se týče druhého zadání, tak není zcela jasné, co má rotovat, zda kolem celé základny oblouk paraboly, či jen část. Tedy jen část oblouku paraboly, co je pod z úsečkou b nebo obě části paraboly pod úsečkou 2*b.V podstatě stačí počítat rotaci oblouku paraboly jen části pod úsečkou b, pokud by to mělo jako být pod jejím dvojnásobkem, bude podobně vzhledem k symetrii objem dvojnásobný.Čili můžeme nechat tedy rotovat část oblouku paraboly upravené na tvar y=3/8*x2-6 kolem osy x, pak to bude integral v mezích (0,4) z pi* (3/8*x2-6)2 dx = 384/5 pi.
Nebo funkci upravit, aby rotovala kolem osy y, pak bude mít tvar y=(8/3*(6-x)).5 a pak bude mít integrál tvar : v mezích od 0 do 6 z funkce 2pi * x * (8/3*(6-x)).5 dx a vyjde opět objem 384/5 * pi (musí se v absolutní hodnotě). Válec, ve kterém je tento objem obsažen má objem pi * 62*4 = 144pi, co je zajímavé je, že objem bude téměř polovina objemu válce, ale nikoliv přesně, ale nepatrně méně. Pokud by tedy rotoval kolem základny 2 * b, bude příslušný oblouk v prostoru vymezovat dvojnásobný objem v příslušném také dvojnásobné válci.
Nebo funkci upravit, aby rotovala kolem osy y, pak bude mít tvar y=(8/3*(6-x)).5 a pak bude mít integrál tvar : v mezích od 0 do 6 z funkce 2pi * x * (8/3*(6-x)).5 dx a vyjde opět objem 384/5 * pi (musí se v absolutní hodnotě). Válec, ve kterém je tento objem obsažen má objem pi * 62*4 = 144pi, co je zajímavé je, že objem bude téměř polovina objemu válce, ale nikoliv přesně, ale nepatrně méně. Pokud by tedy rotoval kolem základny 2 * b, bude příslušný oblouk v prostoru vymezovat dvojnásobný objem v příslušném také dvojnásobné válci.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
- algebra
- vyjádření neznámé ze vzorce
- aritmetika
- druhá mocnina
- planimetrie
- obsah
- základní funkce
- funkce, zobrazení
- integrál
Jednotky fyzikálních veličin:
Úroveň náročnosti úkolu:
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1
Související a podobné příklady:
- Vzdálenost 82341
Určete rovnici kružnice, která je množinou všech bodů roviny, které mají od bodu [3,7] dvakrát větší vzdálenost než od bodu [0,1]. - 1/2:x=5:3/4 81543
Vypočítej x v úměrech: x:7=6:4 1/2:x=5:3/4 4:3=8:x - Kapalina
Teplota kapaliny byla 25°C předtím, než se zahřívala rychlostí 10°C za minutu po dobu 5 minut. Pak se chladila 3,5°C za minutu během 6 minut. Jaká byla teplota kapaliny po ochlazení? - Prochází 46853
Urči číslo a ve funkci y=ax-2, pokud její graf prochází bodem A(1,-4). - Dotyčnica elipsy
Najděte dotyčnici elipsy 9 x² + 16 y² = 144, která má sklon k = -1 - Dotyčnice
Najděte velikost úhlu, pod kterým je elipsa x² + 5 y² = 5 viditelná z bodu P [5, 1]. - Derivační problém
Součet dvou čísel je 12. Najděte tato čísla, jestliže: a) Součet jejich třetích mocnin je minimální. b) Součin jednoho s třetí mocninou druhého je maximální. c) Obě jsou kladná a součin jednoho s druhou mocninou druhého je maximální. - V rovnici 2
V rovnici 2x² + bx-9=0 je jeden kořen x1=-3/2. Určete druhý kořen a koeficient b - Následujících 27753
Nou camp je největší fotbalový stadion v Evropě s kapacitou 99 354 míst. Má vybudováno několik desítek vchodů. Půl hodiny před začátkem vyprodaného zápasu už bylo v hledišti 30 906 fanoušků. Každým z 31 vchodů přibude za minutu průměrně 96 osob. A) napiš - Kvadratickou 26651
Obdélník se stranami délek a, b (cm) má obvod 100 cm. Závislost jeho obsahu P(v cm2) na čísle a lze vyjádřit kvadratickou funkcí P = sa + ta². Určete koeficienty s, t. - Mám vypočátat
Mám vypočátat základ exponenciální funkce f: A na x. Funkce prochází bodem A se souřadnicemi ( -2, dvacet pět čtvrtin). - Lineárni funkce
Pokud použijeme jednu z následujících funkcí x + p = q nebo px = q, napište na reprezentaci těchto problémů pomocí x jako neznámé proměnné: Larry běžel o 7 kilometrů více než Barry za měsíc, pokud Larry utíkal 20 kilometrů, kolik Barry uběhl? - Horník
Horník odvezl za 5 dní 135 vozíků uhlí, a to tak, že každého následujícího dne odvezl o 3 vozíky uhlí více. Kolik vozíků odvezl první den? - Bazén M
Bazén má 12 průtokových otvorů, jsou-li otevřeny 3 z nich. Naplní se za 24 hodin. Vyjádřete závislost doby, za kterou se bazén naplní na počtu otevřených průtokových otvorů a sestrojte graf. - Převrácená hodnota 4
Jak vypočítám číslo x, které je o 9 větší než jeho převrácená hodnota (1/x)? - Vyjádři
Vyjádři objem krychle jako funkci velikosti její hrany. - Souměrnost dle roviny
Určete obraz bodu A (3, -4, -6) v souměrnosti, která je určena rovinou x-y-4z-13 = 0