Parabolická

Parabolická úseč má základnu a= 4 cm a výšku v= 6 cm. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací této úseče

a) kolem své základny
b) kolem své osy.

Předem děkuji za řešení.

Správná odpověď:

V1 =  51,2 cm3
V2 =  50,2655 cm3

Postup správného řešení:

a=4 cm v=6 cm f(x) = q x2 f(a/2) = q (a/2)2 = v 6 = q   22  q=6/22=23=1,5  V1=158 v a2=158 6 42=5256 cm3=51,2 cm3
 f(x) = v  46 x2  f(x) = 6  46 x2  x0=a/2=4/2=2 x1=a/2=4/2=2  V2 = π   { x0 }{x1} f(x) dx V2 = π   {x0}{x1} (46 x2   v) dx V2 = π    [46   x3/3  vx]{x0}{x1}  F(x) = 6x  46    x3/3 F1=6 x146 x13/3=6 246 23/3=8 F0=6 x046 x03/3=6 (2)46 (2)3/3=8  V2=π (F1F0)=3,1416 (8(8))=50,2655 cm3



Našel jsi chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.



Zobrazuji 6 komentářů:
Žák
a) Pa = 384/5*pi = cca 241,27 cm3
b) Pb = 12*pi = cca 37,70 cm3

Matematik
b - nie 16 pi ?

Žák
Va = pi*integrate (sqrt(2/3*x)2 dx from x=0 to 6
Vb = pi*integrate (-6/4*x2+6)2 dx from x=-2 to 2

Aztli
Je to podivně zadané

Aztli
Objem paraboloidu, bude 48 pi, pro kontrolu lze dvěma způsoby buď kolem osy Y z funkce I (2*pi * x * 3/8 * x2 dx od nuly do 4) nebo z inverzní funkce I (pi * ((8/3*x).5)2 dx  od nuly do 6. Co je nejvíce pozoruhodné, že to bude přesně polovina objemu válce, který má takto pi * 42 * 6 = 96 pi.

Aztli
Co se týče druhého zadání, tak není zcela jasné, co má rotovat, zda kolem celé základny oblouk paraboly, či jen část. Tedy jen část oblouku paraboly, co je pod z úsečkou b nebo obě části paraboly pod úsečkou 2*b.V podstatě stačí počítat rotaci oblouku paraboly jen části pod úsečkou b, pokud by to mělo jako být pod jejím dvojnásobkem, bude podobně vzhledem k symetrii objem dvojnásobný.Čili můžeme nechat tedy rotovat část oblouku paraboly upravené na tvar y=3/8*x2-6 kolem osy x, pak to bude integral v mezích (0,4) z pi* (3/8*x2-6)2 dx = 384/5 pi.
Nebo funkci upravit, aby rotovala kolem osy y, pak bude mít tvar y=(8/3*(6-x)).5 a pak bude mít integrál tvar : v mezích od 0 do 6 z funkce 2pi * x * (8/3*(6-x)).5 dx a vyjde opět objem 384/5 * pi (musí se v absolutní hodnotě). Válec, ve kterém je tento objem obsažen má objem pi * 62*4 = 144pi, co je zajímavé je, že objem bude téměř polovina objemu válce, ale nikoliv přesně, ale nepatrně méně. Pokud by tedy rotoval kolem základny 2 * b, bude příslušný oblouk v prostoru vymezovat dvojnásobný objem v příslušném také dvojnásobné válci.





K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:


 
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1

Související a podobné příklady: