Parabolická
Parabolická úseč má základnu a= 4 cm a výšku v= 6 cm. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací této úseče
a) kolem své základny
b) kolem své osy.
Předem děkuji za řešení.
a) kolem své základny
b) kolem své osy.
Předem děkuji za řešení.
Správná odpověď:
Zobrazuji 6 komentářů:
Žák
Va = pi*integrate (sqrt(2/3*x)2 dx from x=0 to 6
Vb = pi*integrate (-6/4*x2+6)2 dx from x=-2 to 2
Vb = pi*integrate (-6/4*x2+6)2 dx from x=-2 to 2
Aztli
Objem paraboloidu, bude 48 pi, pro kontrolu lze dvěma způsoby buď kolem osy Y z funkce I (2*pi * x * 3/8 * x2 dx od nuly do 4) nebo z inverzní funkce I (pi * ((8/3*x).5)2 dx od nuly do 6. Co je nejvíce pozoruhodné, že to bude přesně polovina objemu válce, který má takto pi * 42 * 6 = 96 pi.
Aztli
Co se týče druhého zadání, tak není zcela jasné, co má rotovat, zda kolem celé základny oblouk paraboly, či jen část. Tedy jen část oblouku paraboly, co je pod z úsečkou b nebo obě části paraboly pod úsečkou 2*b.V podstatě stačí počítat rotaci oblouku paraboly jen části pod úsečkou b, pokud by to mělo jako být pod jejím dvojnásobkem, bude podobně vzhledem k symetrii objem dvojnásobný.Čili můžeme nechat tedy rotovat část oblouku paraboly upravené na tvar y=3/8*x2-6 kolem osy x, pak to bude integral v mezích (0,4) z pi* (3/8*x2-6)2 dx = 384/5 pi.
Nebo funkci upravit, aby rotovala kolem osy y, pak bude mít tvar y=(8/3*(6-x)).5 a pak bude mít integrál tvar : v mezích od 0 do 6 z funkce 2pi * x * (8/3*(6-x)).5 dx a vyjde opět objem 384/5 * pi (musí se v absolutní hodnotě). Válec, ve kterém je tento objem obsažen má objem pi * 62*4 = 144pi, co je zajímavé je, že objem bude téměř polovina objemu válce, ale nikoliv přesně, ale nepatrně méně. Pokud by tedy rotoval kolem základny 2 * b, bude příslušný oblouk v prostoru vymezovat dvojnásobný objem v příslušném také dvojnásobné válci.
Nebo funkci upravit, aby rotovala kolem osy y, pak bude mít tvar y=(8/3*(6-x)).5 a pak bude mít integrál tvar : v mezích od 0 do 6 z funkce 2pi * x * (8/3*(6-x)).5 dx a vyjde opět objem 384/5 * pi (musí se v absolutní hodnotě). Válec, ve kterém je tento objem obsažen má objem pi * 62*4 = 144pi, co je zajímavé je, že objem bude téměř polovina objemu válce, ale nikoliv přesně, ale nepatrně méně. Pokud by tedy rotoval kolem základny 2 * b, bude příslušný oblouk v prostoru vymezovat dvojnásobný objem v příslušném také dvojnásobné válci.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
- algebra
- vyjádření neznámé ze vzorce
- aritmetika
- druhá mocnina
- planimetrie
- obsah
- základní funkce
- funkce, zobrazení
- integrál
Jednotky fyzikálních veličin:
Úroveň náročnosti úkolu:
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1
Související a podobné příklady:
- Trojuhelníku 135
Trojuhelníku ABC o stranách a = 15 cm, b = 17,4 cm, c = 21,6 cm je opsána kružnice. Vypočítejte obsah úsečí určených stranami trojúhelníku. - Vzdálenost 145
Vzdálenost tětivy od středu je 6 cm. Středový úhel je 60°. Vypočítejte plošný obsah kruhové úseče. - Kruh - úseč
Kruh o průměru 30 cm je přeťat tětivou t = 16 cm. Vypočtěte obvod a obsah menší úseče. - Těžítko 3
Těžítko ze skla má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu o hraně podstavy 10cm. Stěny pláště jsou rovnostranné trojúhelníky. Jakou hmotnost v gramech má těžítko, jestliže hustota skla je 2500kg/m³?
- Trojúhelníku 83261
Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, ve kterém znáte stranu c=5 cm, úhel při vrcholu A= 70 stupňů a poměr úseků, které vytíná výška na stranu c je 1:3 - Vypočítej 83251
Vypočítej obvod čtverce, jehož obsah je 25 dm² . - Krychle 50
Krychle ABCDEFGH má hranu délky 3 cm. Vypočítejte objem jehlanu ABCDH. - Osový řez válce
Osovým řezem válce je čtverec o obsahu 56,25 cm². Vypočítejte jeho povrch a objem. Výsledek vyjádřete ve čtverečných decimetrech a v krychlových decimetrech a zaokrouhlete na setiny. - Pilíř 3
Kolik betonu je třeba na vylití 8 betonových sloupů s podstavou čtverce: a = 38cm, výška sloupů je 6,2m? V každém sloupu je dutina válce o průměru 15cm.
- Obdélníku 83176
Pokud zmenšíme délku obdélníku o 2cm a šířku o 1cm, tak se obsah obdélníku zmenší o 8 cm². Pokud zvětšíme délku obdélníku o 1cm a šířku o 2cm, tak se obsah obdélníku zvětší o 13 cm². Jaké byly původní rozměry obdélníku? - Obrazec
Obrazec se skládá z tmavého čtverce, dvou shodných bílých rovnoramenných trojúhelníků a dvou shodných bílých lichoběžníků. (S každou stranou čtverce splývá základna jednoho bílého útvaru. ) Tmavý čtverec má stranu délky 12 cm a jeho obsah je polovinou obs - Farmár 7
Farmár má ustájených 250 kráv. V kravíne pripadá na jednu kravu 5m². O koľko m² sa zmenší miesto pre jednu kravu, keď ich počet stúpne o 26? - V kanceláři 2
V kanceláři máme vyčleněny prostor pro skříň o šířce 60cm. Můžeme koupit skříň o výšce 180cm a ploše přední stěny 126dm²? - Katka 7
Katka si objednala dort ve tvaru valce o objemu 15,7l. Skládá se ze dvou pater. Objem horního patra je 4x menší než objem dolního patra. Výška obou pater stejna a je rovná polomeru horního patra dortu. Katka rozkrojila dort kolmo k podložce na 2 stejně čá
- Plášť válce 3
Obsah pláště rotačního válce je třikrát větší než obsah jedné podstavy tohoto válce. Poloměr podstavy válce je 10 cm. Jaký je povrch válce? - Prosím 6
Prosím o vyjádření r ze vzorce pro povrch válce. - Krabice
Kolik dm² tapety je třeba na polepení krabice (bez víka) tvaru krychle o hraně 12 dm?