Betka
Betka si myslela přirozené číslo s navzájem různými ciframi a napsala ho na tabuli. Pod něj zapsala cifry původního čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sečtením těchto dvou čísel dostala číslo, které mělo stejný počet cifer jako myšleny číslo a skládalo se pouze z číslic myšleného čísla (avšak nemuselo obsahovat všechny jeho cifry). Erice se Betkino číslo zalíbilo a chtěla najít jiné číslo se stejnými vlastnostmi. Zjistila, že neexistuje menší takové číslo jako Betkino a větší se jí hledat nechtělo. Určete, jaké číslo si myslela Bětka a jaké číslo by mohla najít Erika, kdyby měla více trpělivosti.
Správná odpověď:
Zobrazuji 8 komentářů:
Peter2
Nápověda. Zvažujte postupně možnosti, kdy je myšlené číslo jednomístné, dvojmístné atd. V jednotlivých případech přemýšlejte postupně nad možnými součty na místě jednotek, desítek atd.
Možné řešení. Nejprve najdeme Bětčino číslo, tj. nejmenší číslo s uvedenými vlastnostmi.
1) Předpokládejme, že Bětčino číslo je jednomístné, a označíme si je a. Potom by podle zadání muselo platit a + a = a, což platí pouze když a = 0. Nula však není přirozené číslo, takže Bětčino myšlené číslo nemůže být jednomístné.
2) Předpokládejme, že Bětčino číslo je dvojmístné, a označíme si je ab. Ať už součet ab + ba dopadne jakkoli, na místě jednotek čteme buď b + a = a, nebo b + a = b. Odtud dostáváme buď b = 0, nebo a = 0. V takovém případě by však buď číslo ba, nebo číslo ab nebylo dvojmístné. Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být dvojmístné.
3) Předpokládejme, že Bětčino číslo je trojmístné, a označíme si je abc. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a c nuly, tedy v součtu abc+cba se na místě jednotek může objevit jedině b:
a b c
c b a
____
∗ ∗ b
Současně c + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abc + cba nebyl trojmístný. Odtud se dozvídáme, že
a + c = b
což mimo jiné znamená, že ani číslice b nemůže být 0. Odtud plyne, že součet b + b na místě desítek nemůže být menší než 10; v takovém případě by tento součet byl roven jednomu z čísel a, b, c, což vždy vede k nějakému sporu s předchozími poznatky:
Pokud b + b = a nebo b + b = c, potom podle (1) dostáváme 2a + 2c = a nebo 2a + 2c = c, tedy a = −2c nebo c = −2a, což není možné.
• Pokud b + b = b, potom b = 0, což není možné.
Součet b + b na místě desítek však nemůže být ani větší než 9. V takovém případě by součet na místě stovek byl a + c + 1 a toto číslo má být rovno jednomu z čísel a, b, c; to vždy vede k nějakému sporu:
• Pokud a + c + 1 = a nebo a + c + 1 = c, potom c = −1 nebo a = −1, což není možné.
• Pokud a+c+ 1 = b, potom podle (1) dostáváme b+ 1 = b, tedy 1 = 0, což není možné.
Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být ani trojmístné.
4) Předpokládejme, že Bětčino číslo je čtyřmístné, a označíme si je abcd. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a d nuly, tedy v součtu abcd + dcba se na místě jednotek může objevit buď b, nebo c:
a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ b
a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ c
Současně d + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abcd + dcba nebyl čtyřmístný. Odtud se dozvídáme, že
buď a + d = b, (dale jen 2)
nebo a + d = c. (dale jen 3)
To mimo jiné znamená, že buď b <> 0, nebo c <> 0.
Nyní předpokládáme, že součet c+b na místě desítek je menší než 10, tzn. tento součet je roven jednomu z čísel a, b, c, d, a prozkoumáme jednotlivé případy. Nejprve uvažujme platnost (2), a tedy b <> 0:
• Pokud b + c = a nebo b + c = d, potom podle (2) dostáváme a + d + c = a nebo a + d + c = d, tedy c = −d nebo c = −a, což není možné.
• Pokud b + c = b, potom c = 0 (což ničemu nevadí).
• Pokud b + c = c, potom b = 0, což není možné.
Podobně, za předpokladu (3) zjistíme, že jediná přípustná možnost je
• b + c = c, tedy b = 0
Celkem tak objevujeme dva možné případy:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Protože Bětčino číslo je nejmenší číslo vyhovující všem uvedeným podmínkám, vůbec se nemusíme zabývat případem, kdy součet c + b je větší než 9, a soustředíme se výhradně na druhou z výše jmenovaných možností, tj. b = 0. Dosadíme nejmenší možné číslo na místo tisícovek a = 1 a zjišťujeme, že c = d + 1. Nejmenší vyhovující možnost je d = 2 a c = 3. Bětka si tedy hrála s číslem 1032 a její výpočet vypadal takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z výše uvedeného je nyní snadné doplnit nějaké jiné číslo s uvedenými vlastnostmi, tedy nějaké Eričino číslo. Např. stačí v Bětčině čísle zaměnit číslice na místě jednotek a tisícovek nebo číslice na místě desítek a stovek, příp. uvažovat jakákoli čísla tvaru (4). Mezi možnými řešeními jsou také čísla, kdy součet c+b je větší než 9. Zde je několik řešení, na která mohla Erika přijít, kdyby ovšem nebyla tak netrpělivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Pokud umíme zdůvodnit, že hledané Bětčino číslo musí být aspoň čtyřmístné, potom je lze snadno najít zkoušením:
Nejmenší čtyřmístné číslo s navzájem různými číslicemi je 1023. Toto číslo však není řešením, neboť 1023 + 3201 = 4224. Pokud nás napadne prohodit číslice 2 a 3, dostaneme vyhovující řešení: 1032 + 2301 = 3333. Abychom se přesvědčili, že toto řešení je nejmenší možné, stačí ověřit, že žádné číslo mezi 1023 a 1032 nevyhovuje některé z uvedených podmínek.
b) Nahrazení ostatních úvah zkoušením je také možné, avšak často velmi pracné. Nicméně pokud je řešení založené na zkoušení úplné, nechť je považováno za správné.
Jakékoli dílčí obecné postřehy mohou počet možností k prozkoušení zajímavě snižovat (např. počet trojic různých čísel od 1 do 9 vyhovujících rovnosti (1) jistě není větší než 32.
Možné řešení. Nejprve najdeme Bětčino číslo, tj. nejmenší číslo s uvedenými vlastnostmi.
1) Předpokládejme, že Bětčino číslo je jednomístné, a označíme si je a. Potom by podle zadání muselo platit a + a = a, což platí pouze když a = 0. Nula však není přirozené číslo, takže Bětčino myšlené číslo nemůže být jednomístné.
2) Předpokládejme, že Bětčino číslo je dvojmístné, a označíme si je ab. Ať už součet ab + ba dopadne jakkoli, na místě jednotek čteme buď b + a = a, nebo b + a = b. Odtud dostáváme buď b = 0, nebo a = 0. V takovém případě by však buď číslo ba, nebo číslo ab nebylo dvojmístné. Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být dvojmístné.
3) Předpokládejme, že Bětčino číslo je trojmístné, a označíme si je abc. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a c nuly, tedy v součtu abc+cba se na místě jednotek může objevit jedině b:
a b c
c b a
____
∗ ∗ b
Současně c + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abc + cba nebyl trojmístný. Odtud se dozvídáme, že
a + c = b
což mimo jiné znamená, že ani číslice b nemůže být 0. Odtud plyne, že součet b + b na místě desítek nemůže být menší než 10; v takovém případě by tento součet byl roven jednomu z čísel a, b, c, což vždy vede k nějakému sporu s předchozími poznatky:
Pokud b + b = a nebo b + b = c, potom podle (1) dostáváme 2a + 2c = a nebo 2a + 2c = c, tedy a = −2c nebo c = −2a, což není možné.
• Pokud b + b = b, potom b = 0, což není možné.
Součet b + b na místě desítek však nemůže být ani větší než 9. V takovém případě by součet na místě stovek byl a + c + 1 a toto číslo má být rovno jednomu z čísel a, b, c; to vždy vede k nějakému sporu:
• Pokud a + c + 1 = a nebo a + c + 1 = c, potom c = −1 nebo a = −1, což není možné.
• Pokud a+c+ 1 = b, potom podle (1) dostáváme b+ 1 = b, tedy 1 = 0, což není možné.
Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být ani trojmístné.
4) Předpokládejme, že Bětčino číslo je čtyřmístné, a označíme si je abcd. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a d nuly, tedy v součtu abcd + dcba se na místě jednotek může objevit buď b, nebo c:
a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ b
a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ c
Současně d + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abcd + dcba nebyl čtyřmístný. Odtud se dozvídáme, že
buď a + d = b, (dale jen 2)
nebo a + d = c. (dale jen 3)
To mimo jiné znamená, že buď b <> 0, nebo c <> 0.
Nyní předpokládáme, že součet c+b na místě desítek je menší než 10, tzn. tento součet je roven jednomu z čísel a, b, c, d, a prozkoumáme jednotlivé případy. Nejprve uvažujme platnost (2), a tedy b <> 0:
• Pokud b + c = a nebo b + c = d, potom podle (2) dostáváme a + d + c = a nebo a + d + c = d, tedy c = −d nebo c = −a, což není možné.
• Pokud b + c = b, potom c = 0 (což ničemu nevadí).
• Pokud b + c = c, potom b = 0, což není možné.
Podobně, za předpokladu (3) zjistíme, že jediná přípustná možnost je
• b + c = c, tedy b = 0
Celkem tak objevujeme dva možné případy:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Protože Bětčino číslo je nejmenší číslo vyhovující všem uvedeným podmínkám, vůbec se nemusíme zabývat případem, kdy součet c + b je větší než 9, a soustředíme se výhradně na druhou z výše jmenovaných možností, tj. b = 0. Dosadíme nejmenší možné číslo na místo tisícovek a = 1 a zjišťujeme, že c = d + 1. Nejmenší vyhovující možnost je d = 2 a c = 3. Bětka si tedy hrála s číslem 1032 a její výpočet vypadal takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z výše uvedeného je nyní snadné doplnit nějaké jiné číslo s uvedenými vlastnostmi, tedy nějaké Eričino číslo. Např. stačí v Bětčině čísle zaměnit číslice na místě jednotek a tisícovek nebo číslice na místě desítek a stovek, příp. uvažovat jakákoli čísla tvaru (4). Mezi možnými řešeními jsou také čísla, kdy součet c+b je větší než 9. Zde je několik řešení, na která mohla Erika přijít, kdyby ovšem nebyla tak netrpělivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Pokud umíme zdůvodnit, že hledané Bětčino číslo musí být aspoň čtyřmístné, potom je lze snadno najít zkoušením:
Nejmenší čtyřmístné číslo s navzájem různými číslicemi je 1023. Toto číslo však není řešením, neboť 1023 + 3201 = 4224. Pokud nás napadne prohodit číslice 2 a 3, dostaneme vyhovující řešení: 1032 + 2301 = 3333. Abychom se přesvědčili, že toto řešení je nejmenší možné, stačí ověřit, že žádné číslo mezi 1023 a 1032 nevyhovuje některé z uvedených podmínek.
b) Nahrazení ostatních úvah zkoušením je také možné, avšak často velmi pracné. Nicméně pokud je řešení založené na zkoušení úplné, nechť je považováno za správné.
Jakékoli dílčí obecné postřehy mohou počet možností k prozkoušení zajímavě snižovat (např. počet trojic různých čísel od 1 do 9 vyhovujících rovnosti (1) jistě není větší než 32.
8 let 2 Likes
žák01
Proč to nemůže být například 10?
10 + 01 = 11
To stejné platí pro všechny násobky deseti až do devadesáti.
10 + 01 = 11
To stejné platí pro všechny násobky deseti až do devadesáti.
Mik
K nápovědě Peter2 - bod 2 dvojmístné číslo, "Předpokládejme, že Bětčino číslo je dvojmístné, a označíme si je ab. Ať už součet ab + ba dopadne jakkoli, na místě jednotek čteme buď b + a = a, nebo b + a = b. Odtud dostáváme buď b = 0, nebo a = 0. V takovém případě by však buď číslo ba, nebo číslo ab nebylo dvojmístné"
To je sice pravda, ale v zadání není napsáno, že zadáním čísel odzadu má vzniknout opět číslo se stejným počtem míst ("Pod něj zapsala cifry původního čísla odzadu a tak získala nové číslo")
Řekl bych tedy, že násobky deseti do devadesáti mohou být řešením.
To je sice pravda, ale v zadání není napsáno, že zadáním čísel odzadu má vzniknout opět číslo se stejným počtem míst ("Pod něj zapsala cifry původního čísla odzadu a tak získala nové číslo")
Řekl bych tedy, že násobky deseti do devadesáti mohou být řešením.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- Prázdne pokoje
V turistické ubytovně spalo 44 žáků v osmi pokojích, některé byly čtyřlůžkové, jiné šesti lůžkové, Kolik čtyřlůžkových a kolík šesti lůžkových pokojů bylo v ubytovně, když dvě lůžka byla prázdná? - Číslo 40
Číslo 112 rozděl na tři složky x, y, z tak, aby platilo x : y = 7 : 5 a y : z = 3 : 4. - Máte vytvořit
Máte vytvořit co největší stejné bonboniery z celkového počtu 280 oriskovych, 252 nugatovych a 420 marcipanovych bonbónů. Přitom vám nesmí žádný bonbon zbýt ani chybět. Jaké bude mít jedna bonboniera složení a kolik jich z daného množství bonbónů připraví - Jak rozdelit 2
Jak rozdelit 2660 v poměru 150:130?
- Vánoční besídka
Vánoční besídka/balíčky pro děti. Máme 96 jablek, 320 bonbonů, 80 žvýkaček, 112 ořechů. Kolik stejných balíčků z daného materiálu můžem udělat? - Sešity 2
Jana koupila celkem 36 sešitů, přičemž linkovaných koupila třikrát více než čtverečkovaných. Vypočtěte, kolik linkovaných sešitů koupila. - Na okně
Na okně jsou pavouci a mouchy. Dohromady mají 38 nohou. Kolik je pavouků a kolik je much, jestliže pavouk má 8 nohou a moucha 6? Stačí uvést jedno řešení. - Kniha 15
Kniha má 1200 stran, z nichž Róza již 60 % přečetla. Kolik stran Róza dosud nepřečetla? - Nový náklaďák
Nový náklaďák vykoná jednu cestu s pískem za 18 minut a starší nákladní auto potřebuje na jednu jízdu o jednu třetinu delší čas. Oba dva ráno vyjedou současně. Za jak dlouho se znovu sejdou a kolikrát se potkají za osmihodinovou směnu?
- Fanklub
Fanklub má 275 členů. Na zápas jeli někteří členové vlakem. Urči kolik členů jelo, když mohli obsadit vagóny buď po 60 nebo po 80 místech. - Mějme
Mějme kostku jejíž délka hrany vyjádřená v centimetrech je přirozené číslo. Z jakého nejmenšího počtu takových stejných kostek lze vytvořit kvádr o rozměrech 24cm, 32cm a 60 cm. Jak dlouhá bude hrana těchto kostek? - Tomáš 4
Tomáš sbírá kartičky NHL. Zjisti, že pokud sí jé rozdělí do skupin po třech, čtyřech, pěti nebo šesti, nikdy mu žádná kartička nezbude. Urči, kolik ma Tomáš hokejových kartiček, jeslí že jejích počet je trojciferny a začíná číslem 2, - Plavecký bazén 2
Včera navštívilo plavecký bazén celkem 680 dospělých, mezi nimiž bylo mužů o 30 % méně než žen. Kolik mužů včera navštívilo plavecký bazén? - MO z5 2024
Anetčin strýc má narozeniny ve stejný den v roce jako Anetčina teta. Strýc je starší než teta, ne však o víc než o deset let, a oba jsou plnoletí. Na poslední oslavě jejich narozenin si Anetka uvědomila, že když vynásobí jejich oslavované věky a výsledný
- Za první
Za první čtyři dny v týdnu se prodalo 216 vstupenek. v pondělí se prodala jedna čtvrtina z těchto vstupenek, což bylo o jednu pětinu více než v úterý. ve čtvrtek s se prodalo stejné množství vstupenek jako v úterý a ve středu dohromady. kolik se prodalo v - Obdélníkovými 82582
Obdélníkovými dlaždicemi se stranami 168cm a 280cm máme vydláždit co nejmenší čtverec. Jaká bude jeho strana čtverce? - Ve třídírně
Ve třídírně ovoce připravovali z pomerančů a mandarinek ovocné balíčky. Do 35 balíčků dali stejný počet pomerančů i mandarinek. Do dalších 25 balíčků dali jen pomeranče. Počet kusů ovoce byl ve všech popsaných balíčcích stejný. Na všechny balíčky potřebov