Užasné číslo
Užasným číslem nazveme takové sudé číslo, jehož rozklad na součin prvočísel má právě tři ne nutně různé činitele a součet všech jeho dělitelů je roven dvojnásobku tohoto čísla. Najděte všechna užasná čísla.
Správná odpověď:
Zobrazuji 7 komentářů:
Petr
To zduvodneni nas zajima taky; ide najma o to ze "součet všech jeho dělitelů" zvycejne pro velke cisla n presahne hodnotu 2n. Vezmime prvocislo. To ma soucet delitelu n+1 (ma presne 2 delitele, n a 1). Cislo n ktere ma 3 delitele a,b,c, ma soucet delitelu minimalne n+1+a+b+c+ab+ac+bc > 2n :D Ale exaktne to zduvodnit nevim a cekame ze nekto moudrejsi nam to dopovi ako to je...
Kvak
Nápověda. Kolik nejvíce dělitelů může mít číslo, které je součinem tří ne nutně různýchprvočísel?
Možné řešení. Protože úžasné číslo je sudé, alespoň jeden z jeho prvočíselných dělitelůje 2; zbylé dva prvočíselné dělitele označíme b a c. Úžasné číslo je tedy rovno součinu 2bc.Všichni dělitelé takového čísla jsou 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, přičemž některá z těchtočísel se mohou rovnat. Postupně probereme všechny možnosti podle počtu a typu různých prvočíselných dělitelů.
a) Předpokládejme, že všichni prvočíselní dělitelé jsou stejní, tedy b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 8 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, 4, 8. Součet všech dělitelů by byl 15, což není dvojnásobek čísla 8. Případ b = c = 2 tedy není možný.
b) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou rovni 2, tedy b = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 4c a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Součet všechdělitelů by byl 7 + 7c a podle zadání má platit7+7c = 8c.To platí právě tehdy, když c = 7; odpovídající úžasné číslo je 4c = 28.
c) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou stejní, ovšem oba různí od 2, tedyb = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2b2 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2,b, 2b, b2, 2b2. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3b2 a podle zadání má platit 3+3b + 3b2 = 4b2, 3(1 + b) = b2. Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b je prvočíslo, muselo by být b = 3. V takovém případě by však nalevo bylo 3 · 4 = 12, zatímco napravo 3x2 = 9. Případ b = c = 2 tedy není možný.
d) Předpokládejme, že prvočíselní dělitelé jsou navzájem různí, tedy 2 = b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2bc a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, b, c, 2b, 2c,bc, 2bc. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3c + 3bc a podle zadání má platit
3+3b + 3c + 3bc = 4bc,3(1 + b + c) = bc.
Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b a c jsou prvočísla, muselo by být buď b = 3, nebo c = 3. Pro b = 3 by předchozí rovnost vypadala takto 3 · (4 + c)=3c, což ovšem neplatí pro žádné c. Diskuse pro c = 3je obdobná. Případ b = c = 2 tedy není možný.
Jediné úžasné číslo je 28.
Možné řešení. Protože úžasné číslo je sudé, alespoň jeden z jeho prvočíselných dělitelůje 2; zbylé dva prvočíselné dělitele označíme b a c. Úžasné číslo je tedy rovno součinu 2bc.Všichni dělitelé takového čísla jsou 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, přičemž některá z těchtočísel se mohou rovnat. Postupně probereme všechny možnosti podle počtu a typu různých prvočíselných dělitelů.
a) Předpokládejme, že všichni prvočíselní dělitelé jsou stejní, tedy b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 8 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, 4, 8. Součet všech dělitelů by byl 15, což není dvojnásobek čísla 8. Případ b = c = 2 tedy není možný.
b) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou rovni 2, tedy b = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 4c a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Součet všechdělitelů by byl 7 + 7c a podle zadání má platit7+7c = 8c.To platí právě tehdy, když c = 7; odpovídající úžasné číslo je 4c = 28.
c) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou stejní, ovšem oba různí od 2, tedyb = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2b2 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2,b, 2b, b2, 2b2. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3b2 a podle zadání má platit 3+3b + 3b2 = 4b2, 3(1 + b) = b2. Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b je prvočíslo, muselo by být b = 3. V takovém případě by však nalevo bylo 3 · 4 = 12, zatímco napravo 3x2 = 9. Případ b = c = 2 tedy není možný.
d) Předpokládejme, že prvočíselní dělitelé jsou navzájem různí, tedy 2 = b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2bc a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, b, c, 2b, 2c,bc, 2bc. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3c + 3bc a podle zadání má platit
3+3b + 3c + 3bc = 4bc,3(1 + b + c) = bc.
Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b a c jsou prvočísla, muselo by být buď b = 3, nebo c = 3. Pro b = 3 by předchozí rovnost vypadala takto 3 · (4 + c)=3c, což ovšem neplatí pro žádné c. Diskuse pro c = 3je obdobná. Případ b = c = 2 tedy není možný.
Jediné úžasné číslo je 28.
Dominikbnp
Vždyť ze zadání je zřejmé, že hledáme dokonalá čísla. A je dávno známa věta, v jakém tvaru musí být všechna (sudá) dokonalá čísla. Z toho to plyne hned.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- Máte vytvořit
Máte vytvořit co největší stejné bonboniery z celkového počtu 280 oriskovych, 252 nugatovych a 420 marcipanovych bonbónů. Přitom vám nesmí žádný bonbon zbýt ani chybět. Jaké bude mít jedna bonboniera složení a kolik jich z daného množství bonbónů připraví - MO z5 2024
Anetčin strýc má narozeniny ve stejný den v roce jako Anetčina teta. Strýc je starší než teta, ne však o víc než o deset let, a oba jsou plnoletí. Na poslední oslavě jejich narozenin si Anetka uvědomila, že když vynásobí jejich oslavované věky a výsledný - Pan delfín
Pan delfín a pan žralok byli zdatní rybáři. Jednou dohromady ulovili 70 ryb. Pět devítin ryb, ulovil pan delfín, byli Pstruzi. Dvě sedmnáctiny ryb, které ulovil pan žralok, byli kapři. Kolik ryb ulovil pan Delfín? - Taneční 4
Taneční soubor má 24 členů. Na kolik stejně velkých skupin tanečníků se může při vystoupení rozdělit_ - Číslo mezi
Jsem číslo mezi 121 a 149. Mohu se dělit 3 i 5 (beze zbytku). Jaké jsem číslo? - Číselna řada
Které číslo nepatří do číselné řady a proč? 11 . . . 13 . . . 15 . . . 17 . . . 19 - Čtyřciferná 80469
Najdi dvě nejmenší a dvě největší čtyřciferná čísla dělitelná šesti. - Nelogicky
Co logicky nepatří mezi ostatní a proč? 22, 368, 400, 602, 699, 978, 12334 - Pěticiferných 80104
Kolik různých pěticiferných čísel s různými ciframi lze sestavit z číslic 0, 2, 4, 6, 7, 8, 9? Kolik z nich je dělitelných 4? Kolik z nich je dělitelných 10? Kolik z nich je sudých? - V hodině
V hodině tělesné výchovy žáci nastupovali do dvojstupů, trojstupů, čtyřstupů, šestistupů a osmistupů, vždy však zbýval jeden žák. Kolik žáků cvičilo, bylo-li jich více než 40 a méně než 50? - Na deseti
Na deseti stejných kartičkách jsou čísla od nuly do devíti. Určete pravděpodobnost toho, že dvojmístné číslo náhodně vytvořené z daných kartiček je: a) sudé b) dělitelné šesti c) dělitelné jednadvaceti - Určete 38
Určete číslo, jímž jsou všechna tyto čísla 22, 18, 25, 15, 35, 10 dělitelná beze zbytku. Číslo je větší než 1. - Čísla 12
Čísla A a B se liší o 95. Pokud od čísla A odečteme jeho dvě třetiny, dostaneme stejný výsledek, jako když k číslu B přičteme jeho tři pětiny. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N). a) Větší ze dvou čísel je sudé - Z číslic 2
Z číslic 1; 2; 4 a 8 sestavte dvě čtyřciferná čísla tak, aby v zápise každého čísla byly použity všechny 4 číslice. Vypočtěte rozdíl takového největšího sudého a nejmenšího lichého čísla (v tomto pořadí). - Vypište 2
Vypište všechna složená kladná dvojciferná čísla, jejichž největší společný dělitel s číslem 51 je číslo 17. - Vypište
Vypište všechna čísla, která jsou dělitelná šesti a sedmi a zároveň jsou větší než 79 a menší než 91. - Jaká je 4
Jaká je pravděpodobnost, že libovolné dvojciferné číslo a) je dělitelné pěti, b) není dělitelné pěti?