Pětiúhelník
Uvnitř pravidelného pětiúhelníku ABCDE je bod P takový, že trojúhelník ABP je rovnostranný. Jak velký je úhel BCP?
Udělej si náčrtek
Udělej si náčrtek
Správná odpověď:
Zobrazuji 5 komentářů:
Žák
trojuhelnik abp jr rovnostranny dle zadani,proto strana ab=bp=pa.u petiuhelniku ab=bc=bp. trojuhelnik bcp je rovnoramenny,,bc=bp. vsechny uhly petiuhelniku =360 st. uhel abc=360;5=72st. rovnostranny trojuhelnik ma wsoucet180st.pokud uhel abc=72st.,uhelpbc=72-60=12st. Trojuhelnik pbc je rovnoramenny pb=bc. Uhel bcp a cpb=180-12=168st. Uhel bcp=168;2=84st
Mo - Oficiální
Nápověda. Uvědomte si, že trojúhelník BCP není obecný.
Možné řešení. Pětiúhelník ABCDE je pravidelný, zejména platí |AB| = |BC|. Trojúhelník ABP je rovnostranný, zejména platí |AB| = |BP|. Odtud vidíme, že |BP| = |BC|, tedy, že trojúhelník BCP je rovnoramenný. Jeho vnitřní úhly u vrcholů P a C jsou proto shodné; k jejich určení stačí znát úhel u vrcholu B (součet velikostí vnitřních úhlů v libovolném trojúhelníku je 180◦). Přitom úhel P BC je rozdílem úhlů ABC a ABP, z nichž první je vnitřním úhlem pravidelného pětiúhelníku (vyjádříme záhy) a druhý je vnitřním úhlem rovnostranného trojúhelníku (má velikost α = 60◦).
Pětiúhelník ABCDE můžeme rozdělit na pět trojúhelníků se společným vrcholem P. Součet vnitřních úhlů pětiúhelníku je roven součtu vnitřních úhlů všech pěti trojúhelníků vyjma úhlů u vrcholu P, tj. 5·180◦−360◦ = 540◦. V pravidelném pětiúhelníku jsou všechny vnitřní úhly shodné, každý má tudíž velikost 540◦: 5 = 108◦.
Odtud konečně umíme vyjádřit β = |?P BC| = |?ABC| − |?ABP| = 108◦ − 60◦ = 48◦
a následně γ = |?BCP| = |?BPC| = (180◦ − 48◦)/2 = 66◦.
Velikost úhlu BCP je 66◦.
Poznámka. Velikost vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku je možné odvodit také pomocí rozdělení na pět shodných rovnoramenných trojúhelníků jako na následujícím obrázku (S je střed pětiúhelníku, tj. střed jemu opsané kružnice).
Úhel u vrcholu S v každém z těchto trojúhelníků má velikost 360 : 5 = 72◦; součet úhlů u základny je roven 180◦−72◦ = 108◦ , což je také velikost vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku.
Možné řešení. Pětiúhelník ABCDE je pravidelný, zejména platí |AB| = |BC|. Trojúhelník ABP je rovnostranný, zejména platí |AB| = |BP|. Odtud vidíme, že |BP| = |BC|, tedy, že trojúhelník BCP je rovnoramenný. Jeho vnitřní úhly u vrcholů P a C jsou proto shodné; k jejich určení stačí znát úhel u vrcholu B (součet velikostí vnitřních úhlů v libovolném trojúhelníku je 180◦). Přitom úhel P BC je rozdílem úhlů ABC a ABP, z nichž první je vnitřním úhlem pravidelného pětiúhelníku (vyjádříme záhy) a druhý je vnitřním úhlem rovnostranného trojúhelníku (má velikost α = 60◦).
Pětiúhelník ABCDE můžeme rozdělit na pět trojúhelníků se společným vrcholem P. Součet vnitřních úhlů pětiúhelníku je roven součtu vnitřních úhlů všech pěti trojúhelníků vyjma úhlů u vrcholu P, tj. 5·180◦−360◦ = 540◦. V pravidelném pětiúhelníku jsou všechny vnitřní úhly shodné, každý má tudíž velikost 540◦: 5 = 108◦.
Odtud konečně umíme vyjádřit β = |?P BC| = |?ABC| − |?ABP| = 108◦ − 60◦ = 48◦
a následně γ = |?BCP| = |?BPC| = (180◦ − 48◦)/2 = 66◦.
Velikost úhlu BCP je 66◦.
Poznámka. Velikost vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku je možné odvodit také pomocí rozdělení na pět shodných rovnoramenných trojúhelníků jako na následujícím obrázku (S je střed pětiúhelníku, tj. střed jemu opsané kružnice).
Úhel u vrcholu S v každém z těchto trojúhelníků má velikost 360 : 5 = 72◦; součet úhlů u základny je roven 180◦−72◦ = 108◦ , což je také velikost vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku.
8 let 1 Like
Tipy na související online kalkulačky
Vypočet rovnostranného trojúhelníku.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Jednotky fyzikálních veličin:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1
Související a podobné příklady:
- Čtyřúhulník AFHD
Trojúhelník ABC je rozdělen úsečkami. Úsečky DE a AB jsou rovnoběžné. Trojúhelníky CDH, CHI, CIE, FIH mají stejný obsah a to 8 dm². Zjistěte obsah čtyřúhelníku AFHD. - Z5 – I – 2 MO 2018
Tereza dostala čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky se stranami délek 3 cm, 4 cm a 5 cm. Z těchto trojúhelníků (ne nutně ze všech čtyř) zkoušela skládat nové útvary. Postupně se jí podařilo složit čtyřúhelníky s obvodem 14 cm, 18 cm, 22 cm a 26 cm, a to po - Z6-I-6 MO 2018
Ve dvanáctiúhelníku ABCDEF GHIJKL jsou každé dvě sousední strany kolmé a všechny strany s výjimkou stran AL a GF jsou navzájem shodné. Strany AL a GF jsou oproti ostatním stranám dvojnásobně dlouhé. Úsečky BG a EL se protínají v bodě M a rozdělují dvanáct - Z7–I–2 MO 2018
Ve dvanáctiúhelníku ABCDEF GHIJKL jsou každé dvě sousední strany kolmé a všechny strany s výjimkou stran AL a GF jsou navzájem shodné. Strany AL a GF jsou oproti ostatním stranám dvojnásobně dlouhé. Úsečky BG a EL se protínají v bodě M. Čtyřúhelník ABMJ m - MO Z8–I–6 2018
V lichoběžníku KLMN má základna KL velikost 40 cm a základna MN má velikost 16 cm. Bod P leží na úsečce KL tak, že úsečka NP rozděluje lichoběžník na dvě části se stejnými obsahy. Určete velikost úsečky KP. - Mařenka MO C-I-5
Mařenka rozmístí do vrcholů pravidelného osmiúhelníku různé počty od jednoho po osm bonbónů. Peter si pak může vybrat, které tři hromádky bonbónů dá Mařence, ostatní si ponechá. Jedinou podmínkou je, že tyto tři hromádky leží ve vrcholech rovnoramenného t - Osmistěn
Na každé stěně pravidelného osmistěnu je napsáno jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a 8, přičemž na různých stěnách jsou různá čísla. U každé stěny Jarda určil součet čísla na ní napsaného s čísly tří sousedních stěn. Takto dostal osm součtů, které také se - Šestiúhelník nepravidelný
Na obrázku je čtverec ABCD, čtverec EF GD a obdélník HIJD. Body J a G leží na straně CD, přičemž platí |DJ| < |DG|, a body H a E leží na straně DA, přičemž platí |DH| < |DE|. Dále víme, že |DJ| = |GC|. Šestiúhelník ABCGFE má obvod 96 cm, šestiúhelní - Šestiúhelníky
Je čtverec ABCD, čtverec EFGD a obdélnik HIJD, body JG leží na straně CD pričemž platí DJ je menší než DG a body HE leží na straně DA, pričemž platí DH je menší než DE, dále víme že DJ se rovná GC. Šestiúhelník ABCGFE má obvod 96 cm, šestiúhelník EFGJIH m - Z6–I–5 MO 2024
Péťa složil z navzájem shodných trojúhelníků několik rovinných útvarů. Obvody prvních tří jsou postupně 8 cm, 11,4 cm a 14,7 cm. Určete obvod čtvrtého útvaru - Pravoúhlý 37
Pravoúhlý trojúhelník má obsah 36 cm². V něm je umístěn čtverec tak, že dvě strany čtverce jsou částmi dvou stran trojúhelníku a jeden vrchol čtverce je ve třetině nejdelší strany. Určete obsah tohoto čtverce. - MO z5 2024
Anetčin strýc má narozeniny ve stejný den v roce jako Anetčina teta. Strýc je starší než teta, ne však o víc než o deset let, a oba jsou plnoletí. Na poslední oslavě jejich narozenin si Anetka uvědomila, že když vynásobí jejich oslavované věky a výsledný - Nepozornosti MO 2023 Z9
Karel měl vynásobit dvě dvouciferná čísla. Z nepozornosti vyměnil pořadí číslic v jednom z činitelů a dostal součin, který byl o 4 248 menší než správný výsledek. Jaký je správný výsledek? Kolik mělo Karlovi správně vyjít? - Rozhodněte 82454
Adam měl papír, který byl natolik velký, že by se z něj dalo natrhat několik desítek tisíc kousků. Nejprve papír roztrhal na čtyři kousky. Každý z těchto kousků vzal a roztrhal buď na čtyři, nebo na deset kousků. Stejným způsobem pokračoval dál: každý nov - V loňském
V loňském roce bylo v našem skautském oddíle o 30 chlapců více než děvčat. Letos se počet dětí v oddíle zvětšil o 10% přičemž počet chlapců se zvětšil o 5% a počet děvčat se zvětšil o 20%. Kolik dětí máme letos v oddíle? - Myslím 20
Myslím si tři čísla, když je sečtou dostanu 16, když od součtu prvních dvou čísel odečtou třetí dostanu 10, když od součtu prvního a třetího čísla odečtou druhé dostanu 8. Která čísla si myslím? - Z vrcholů 2
Z vrcholů pravidelného sedmiúhelníka vybereme náhodně trojici různých bodů a spojíme je úsečkami. Pravděpodobnost, že výsledný trojúhelník bude rovnoramenný, je rovna: (A) 1/3 (B) 2/5 (C) 3/5 (D) 4/7