Číselna osa
V kocourkovské škole používají zvláštní číselnou osu. Vzdálenost mezi čísly 1 a 2 je 1 cm, vzdálenost mezi čísly 2 a 3 je 3 cm, mezi čísly 3 a 4 je 5 cm, a tak dále, vzdálenost mezi následující dvojicí přirozenými čísly se vždy zvètší o 2 cm. Mezi kterými dvěma přirozenými čísly je na kocourkovské číselné ose vzdálenost 39cm?
Najdi všechny možnosti. Kolik ich je?
Najdi všechny možnosti. Kolik ich je?
Správná odpověď:
Zobrazuji 4 komentáře:
Mo-radca
Nápověda. Vypište si vzdálenosti mezi různými dvojicemi čísel na kocourkovské ose.
Možné řešení.
Vzdálenost 39 cm může být realizována mezi různými dvojicemi čísel. Budeme systematicky vypisovat vzdálenosti mezi několika prvními čísly kocourkovské osy. V následujícím schématu je nad čarou vypsáno prvních 10 čísel a pod čarou skutečné vzdálenosti (v cm) mezi různými dvojicemi těchto čísel — na prvním řádku pod čarou jsou postupně vzdálenosti mezi sousedními čísly, na druhém řádku pod čarou jsou vzdálenosti mezi dvojicemi čísel, které jsou ob jedno, atd. (Např. 21 na třetím řádku pod čarou značí skutečnou vzdálenost mezi čísly 3 a 6 na kocourkovské ose a je určeno jako 5 + 7 + 9). Hvězdičkou jsou označena zbytečně velká čísla, která nás nezajímají.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 ∗ ∗
16 24 32 40 ∗ ∗ ∗ ∗
25 35 45 ∗ ∗ ∗ ∗
36 48 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
49 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Ihned vidíme (z třetího řádku pod čarou), že vzdálenost 39 cm je mezi čísly 6 a 9 a že se jistě neobjevuje mezi čísly, která jsou na kocourkovské ose víc než ob dvě (od čtvrtého řádku pod čarou). Vzdálenost 39 cm se určitě také nemůže objevovat mezi čísly, která jsou ob jedno, protože všechny tyto vzdálenosti jsou sudé (druhý řádek pod čarou). Zbývá tedy prozkoumat vzdálenosti mezi sousedními čísly (první řádek pod čarou):
Posloupnost vzdáleností mezi sousedními čísly můžeme vyjádřit jako
1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4, . . .
Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 1)-ním číslem na kocourkovské ose je rovna
1 + 2(i − 1) = 2i − 1 (cm).
Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 20. Vzdálenost 39 cm na kocourkovské číselné ose je mezi dvojicemi čísel 6, 9 a 20, 21.
Poznámky.
a) Závěrečnou úvahu lze nahradit vypsáním a spočítáním všech lichých čísel až po 39. Pokud je výčet úplný, je takové řešení správné.
b) Naopak úvodní vypisování lze celé nahradit úvahou, příp. výpočtem: Všechny vzdálenosti v tabulce jsou součtem různých počtů lichých čísel, přičemž tyto počty jsou buď liché (pro sousední čísla a dvojice čísel, která jsou ob sudý počet čísel), nebo sudé (pro dvojice čísel, která jsou ob lichý počet čísel). Na jednotlivých řádcích se tedy objevují buď jenom lichá, nebo jenom sudá čísla. Vzdálenost 39 cm se tedy může objevovat pouze mezi sousedními čísly a dvojicemi, která jsou na kocourkovské ose ob sudý počet čísel.
Předchozí vypisování posloupnosti vzdáleností mezi sousedními čísly má následující analogii pro dvojice čísel, která jsou ob dvě:
9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3, . . .
Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 3)-tím číslem na kocourkovské ose je rovna 9 + 6(i − 1) = 6i + 3 (cm).
Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 6. Obdobně lze vyjádřit jakoukoli jinou výše vypisovanou posloupnost.
c) Řešení úlohy lze zjednodušit pomocí následujícího poznatku: Součet lichého počtu po sobě jdoucích lichých čísel je roven součinu počtu těchto čísel a prostředního z nich. Zvídavým řešitelům doporučujeme tento poznatek zdůvodnit a řešení domyslet.
d) V uvedeném schématu si můžeme všimnout, že všechna čísla v prvním šikmém sloupci jsou druhými mocninami přirozených čísel. To není náhoda — obecně platí, že součet prvních k po sobě jdoucích lichých čísel je roven k2. Zvídavým řešitelům doporučujeme porovnat toto tvrzení s poznatkem v předchozí poznámce.
Možné řešení.
Vzdálenost 39 cm může být realizována mezi různými dvojicemi čísel. Budeme systematicky vypisovat vzdálenosti mezi několika prvními čísly kocourkovské osy. V následujícím schématu je nad čarou vypsáno prvních 10 čísel a pod čarou skutečné vzdálenosti (v cm) mezi různými dvojicemi těchto čísel — na prvním řádku pod čarou jsou postupně vzdálenosti mezi sousedními čísly, na druhém řádku pod čarou jsou vzdálenosti mezi dvojicemi čísel, které jsou ob jedno, atd. (Např. 21 na třetím řádku pod čarou značí skutečnou vzdálenost mezi čísly 3 a 6 na kocourkovské ose a je určeno jako 5 + 7 + 9). Hvězdičkou jsou označena zbytečně velká čísla, která nás nezajímají.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 ∗ ∗
16 24 32 40 ∗ ∗ ∗ ∗
25 35 45 ∗ ∗ ∗ ∗
36 48 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
49 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Ihned vidíme (z třetího řádku pod čarou), že vzdálenost 39 cm je mezi čísly 6 a 9 a že se jistě neobjevuje mezi čísly, která jsou na kocourkovské ose víc než ob dvě (od čtvrtého řádku pod čarou). Vzdálenost 39 cm se určitě také nemůže objevovat mezi čísly, která jsou ob jedno, protože všechny tyto vzdálenosti jsou sudé (druhý řádek pod čarou). Zbývá tedy prozkoumat vzdálenosti mezi sousedními čísly (první řádek pod čarou):
Posloupnost vzdáleností mezi sousedními čísly můžeme vyjádřit jako
1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4, . . .
Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 1)-ním číslem na kocourkovské ose je rovna
1 + 2(i − 1) = 2i − 1 (cm).
Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 20. Vzdálenost 39 cm na kocourkovské číselné ose je mezi dvojicemi čísel 6, 9 a 20, 21.
Poznámky.
a) Závěrečnou úvahu lze nahradit vypsáním a spočítáním všech lichých čísel až po 39. Pokud je výčet úplný, je takové řešení správné.
b) Naopak úvodní vypisování lze celé nahradit úvahou, příp. výpočtem: Všechny vzdálenosti v tabulce jsou součtem různých počtů lichých čísel, přičemž tyto počty jsou buď liché (pro sousední čísla a dvojice čísel, která jsou ob sudý počet čísel), nebo sudé (pro dvojice čísel, která jsou ob lichý počet čísel). Na jednotlivých řádcích se tedy objevují buď jenom lichá, nebo jenom sudá čísla. Vzdálenost 39 cm se tedy může objevovat pouze mezi sousedními čísly a dvojicemi, která jsou na kocourkovské ose ob sudý počet čísel.
Předchozí vypisování posloupnosti vzdáleností mezi sousedními čísly má následující analogii pro dvojice čísel, která jsou ob dvě:
9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3, . . .
Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 3)-tím číslem na kocourkovské ose je rovna 9 + 6(i − 1) = 6i + 3 (cm).
Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 6. Obdobně lze vyjádřit jakoukoli jinou výše vypisovanou posloupnost.
c) Řešení úlohy lze zjednodušit pomocí následujícího poznatku: Součet lichého počtu po sobě jdoucích lichých čísel je roven součinu počtu těchto čísel a prostředního z nich. Zvídavým řešitelům doporučujeme tento poznatek zdůvodnit a řešení domyslet.
d) V uvedeném schématu si můžeme všimnout, že všechna čísla v prvním šikmém sloupci jsou druhými mocninami přirozených čísel. To není náhoda — obecně platí, že součet prvních k po sobě jdoucích lichých čísel je roven k2. Zvídavým řešitelům doporučujeme porovnat toto tvrzení s poznatkem v předchozí poznámce.
8 let 3 Likes
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Související a podobné příklady:
- Rovnice 47
Rovnice se zlomkama: 3y - y+3/4 = 1+y/2 - Osový řez válce
Osovým řezem válce je čtverec o obsahu 56,25 cm². Vypočítejte jeho povrch a objem. Výsledek vyjádřete ve čtverečných decimetrech a v krychlových decimetrech a zaokrouhlete na setiny. - Máte vytvořit
Máte vytvořit co největší stejné bonboniery z celkového počtu 280 oriskovych, 252 nugatovych a 420 marcipanovych bonbónů. Přitom vám nesmí žádný bonbon zbýt ani chybět. Jaké bude mít jedna bonboniera složení a kolik jich z daného množství bonbónů připraví - Arnoštovi
Arnoštovi je 16 let, Báře je 13 let a tetě Claire je 41 let. Za kolik let bude Arnoštovi a Báře dohromady tolik, co tetě Claire? Příklad vyřeš pomocí rovnice
- Máme vodu
Máme vodu 67°C 160 L, Kolik litrů studené vody 18°C na ochlazení na 39°C? - Jak rozdelit 2
Jak rozdelit 2660 v poměru 150:130? - Rychlost 83175
Malá myška ujede za 1 hodinu 3,6 km. Jaká je její rychlost v m/s? - Výsledky
Výsledky osmých tříd z testu: 8D =? 8B = 47 8A = 44 8E = 37 8C = 28 Přesně průměrného výsledku dosáhla třída 8A. Kolik bodů získala vítězná třída 8D? O kolik % je úspěšnější třída 8B než 8C? - Za rybníkem
Za rybníkem lyžuje kocour Mikeš a sankuje bobes svah dlouhý 300 sjede opatrný bobes za minutu. O kolik km/h sjede kopec rychleji Mikeš než bobes je-li dole o 20 sekund dřív?
- Vánoční besídka
Vánoční besídka/balíčky pro děti. Máme 96 jablek, 320 bonbonů, 80 žvýkaček, 112 ořechů. Kolik stejných balíčků z daného materiálu můžem udělat? - Pokémony
Jenda, Milan a Tomáš mají dohromady 203 kartiček s Pokémony. Jenda má dvakrát více kartiček než Tomáš. Milan má čtvrtinu z Jendova počtu kartiček. a) Kolik kartiček má Jenda? b) O kolik kartiček méně má Milan než Jenda s Tomášem dohromady? - Florista
Florista připravoval květinovou výzdobu na svatbu. Třetinu z celkového počtu květin tvořily růže, šestinu pivoňky, pět dvanáctin tulipány a zbylých 10 kusů byly lilie. a) Kolik květin florista použil? b) Kolik bylo tulipánů - Z6–I–5 MO 2024
Péťa složil z navzájem shodných trojúhelníků několik rovinných útvarů. Obvody prvních tří jsou postupně 8 cm, 11,4 cm a 14,7 cm. Určete obvod čtvrtého útvaru - Kamarádka 2
Kamarádka utratila 2/5 za penál, 3/10 za notebook a zbylo jí 3,3 eura, kolik měla celkem?
- Sešity 2
Jana koupila celkem 36 sešitů, přičemž linkovaných koupila třikrát více než čtverečkovaných. Vypočtěte, kolik linkovaných sešitů koupila. - Na okně
Na okně jsou pavouci a mouchy. Dohromady mají 38 nohou. Kolik je pavouků a kolik je much, jestliže pavouk má 8 nohou a moucha 6? Stačí uvést jedno řešení. - Kniha 16
Kniha má 500 stran. Pepa přečetl o polovinu více stran než mu zbývá. Kolik stran Pepa přečetl?