Pětiboký jehlan

Výška pravidelného pětibokého jehlanu je stejně dlouhá jako hrana podstavy, a to 20 cm. Vypočtěte objem a povrch jehlanu.

Správná odpověď:

V =  4587,9397 cm³
S =  1902,113 cm²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a=20\text{cm} \\ h=a=20\text{cm} \\ n=5 \\ r=\frac{\sqrt{25+10\cdot \sqrt{5}}}{10}\cdot a=\frac{\sqrt{25+10\cdot \sqrt{5}}}{10}\cdot 20\doteq 13,7638\text{cm} \\ {S}_1=\frac{\sqrt{25+10\cdot \sqrt{5}}}{4}\cdot a^2=\frac{\sqrt{25+10\cdot \sqrt{5}}}{4}\cdot 20^2\doteq 688,191{\text{cm}}^2 \\ V=\frac{1}{3}\cdot S_1\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 688,191\cdot 20=4587,9397{\text{cm}}^3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} h_2=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{13,7638^2+20^2}\doteq 24,2784\text{cm} \\ {S}_2=\frac{a\cdot h_2}{2}=\frac{20\cdot 24,2784}{2}\doteq 242,7844{\text{cm}}^2 \\ S=S_1+n\cdot S_2=688,191+5\cdot 242,7844=1902,113{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad