Z9-I-4

Katka si myslela pětimístné přirozené číslo. Do sešitu napsala na první řádek součet myšleného čísla a poloviny myšleného čísla. Na druhý řádek napsala součet myšleného čísla a pětiny myšleného čísla. Na třetí řádek napsala součet myšleného čísla a devítiny myšleného čísla. Nakonec sečetla všechna tři zapsaná čísla a výsledek napsala na čtvrtý řádek. Poté s úžasem zjistila, že na čtvrtém řádku má zapsánu třetí mocninu jistého přirozeného čísla.

Určete nejmenší číslo, které si Katka mohla myslet na začátku.

Výsledek

n =  11250

Řešení:

Textové řešení n =







Napište nám komentář ke příkladu (úlohe) a jeho řešení (například pokud je stále něco nejasné nebo máte jiné řešení, nebo příklad nevíte vypočítat, nebo-li řešení je nesprávné...):

19 komentářů:
#
Žák
Jak jste došli k prvnímu číslu n=11250? Děkuji :)

3 roky  2 Likes
#
Www
staci jet od cisla 10000 co je prvni 5-ti mistne cislo a testovat ho ci splna "vlastnosti"....

druha moznost je vypocitet treti odmocninu z 10000 = 21.544346 cize zacat od 223 , 233 az po 353 (co je jen 13 vyskusani vysledku)

#
Žák
A nešlo by nějak matematicky vypočítat n? A ne ho pouze na začátku odhadnout?

3 roky  1 Like
#
Žák
myslim ze neuplne reseni podpori Vasi kreativitu a na neco taky prijidete sami a budete se tesit... Ulohy MO nejsu ze stahnu z internetu a vsichni do tydne odovzdaji stejne reseni....

Hodne pile!

3 roky  2 Likes
#
Tekysk
sewa :::) mas rozhodne pravdu :) a ale tak no ,,, kazdy svoje pochody a my ich nezmenime :)

2 roky  1 Like
#
Týna
Kde jsi přišel na 35 na třetí? Jako, kde jsi to vzal? A proč si myslíš, že to bude zrovna tohle číslo? Děkuji za odpověď.

#
Dr Math
Zde je počítačem vygenerované řešení
10000 = 33.6525, 10001 = 33.6533, 10002 = 33.6545, 10003 = 33.6557, 10004 = 33.6569, 10005 = 33.6581, 10006 = 33.6589, 10007 = 33.6601, 10008 = 33.6613, 10009 = 33.6625, 10010 = 33.6636, 10011 = 33.6648, 10012 = 33.6657, 10013 = 33.6669,

... skratil admin stranky  doktor matematiky...

34.9834, 11235 = 34.9842, 11236 = 34.9853, 11237 = 34.9864, 11238 = 34.9875, 11239 = 34.9886, 11240 = 34.9894, 11241 = 34.9905, 11242 = 34.9916, 11243 = 34.9927, 11244 = 34.9937, 11245 = 34.9946, 11246 = 34.9956, 11247 = 34.9967, 11248 = 34.9978, 11249 = 34.9989, 11250 = 35 Trvalo to asi 35 sekund

3 roky  2 Likes
#
Žák
V jakém programu to je ?

#
žák
A do listu, který bude odevzdávat napíšete, že vám výsledek vygeneroval počítač ??

2 roky  1 Like
#
Www
no ano a mikrosekundu by trvalo vyskusat 13 cisel ci vyhovuje.... resp. 4 minuty na kalkulacce

#
Žák
Jde to samozřejmně i pomocí rovnic a úvah. Kdo chce ale dělat MO by na tohle měl přijít sám.

3 roky  1 Like
#
žák
Takže matematický vzorec pro tuto úlohu neexistuje ??

#
žák
Počítal jsem takto:
x + x/2 + x + x/5 + x + x/9 = y³ (- na třetí)
343/90 = y³             / *90
343x = y³ * 90         / ³√ (- třetí odmocnina)
3,81x =³√ (y³ * 90)
x = (³√ (y * 90)) / 3,81
A jak teď zjistit "x", pokud na druhé straně mám další nevyjádřenou... ?

#
Žák
nebo si můžeš x vyjádřit jako x=(y³*90)/343

#
Pomocník
Hledáte nejnižší pětimístné číslo a máte určit nejmenší číslo, které si Katka mohla myslet, to číslo musí být na třetí, takže můžete zkoušet, třeba 203=8000, stále není pětimístné, tak zkusíte 213=9261, potom zkusíte 223=10648, to je nejnižší pětimístné číslo na třetí, takže odpověď je 22, nikoli 35.

2 roky  1 Like
#
Žák
Ale to číslo na konci není to číslo, které si katka myslela - na třetí, je to jiné přirození číslo na třetí.

#
Žák
Když ale do řádků dosadíš 10648 tak ti výjde 40580,7111 - má být přirozené. Pak by jste nenašel 3odmocninu přirozenou.

#
Žák
Vážení, jestli chápu správně zadání, tak "n" nemůže být 11250, protože to má být součet, což by v tomto případě bylo 9.
takže bych to viděl na "x + n/2" v prvním řádku.

#
Žák
Šla jsem na výpočet takto:
Katka sečetla čísla x + x/2, x + x/5 a x + x/9 - součet je 343/90.x = n3, přičemž 343=73.
Hledané číslo x tedy musí být násobek 90 a třetí mocniny jistého čísla. Vyzkoušením zjistíme, že násobky 90 a třetí mocniny 2,3,4 nejsou pěticiferné, první pěticiferný součin dává třetí mocnina 5, tedy 90.125 = 11250

avatar









Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?

Další podobné příklady a úkoly:

  1. Deváta třídy
    venn_three Každý žák deváté třídy se zúčastnil alespoň jedné ze tří exkurzí. Na každé exkurzi mohlo být vždy 15 žáků. 7 účastníků první exkurze se zúčastnilo i druhé, 8 účastníků první a 5 účastníků druhé exkurze se zúčastnilo i třetí. 4 žáci se zúčastnili všech t
  2. MO 2019 Z8–I–4
    olympics_1 Pro pětici celých čísel platí, že když k prvnímu přičteme jedničku, druhé umocníme na druhou, od třetího odečteme trojku, čtvrté vynásobíme čtyřmi a páté vydělíme pěti, dostaneme pokaždé stejný výsledek. Najděte všechny pětice čísel, jejichž součet je 122
  3. Kytice
    tulipany Simona natrhala v zahradě 63 tulipánů a uvázala z nich dvoubarevné kytice pro své přítelkyně. Tulipány byly pouze červené a bílé. Do každé kytice dala stejně hodně tulipánů, přičemž tři z nich byly vždy červené. Kolik mohla Simona odtrhnout 'bílých tulipá
  4. Hercules bojuje
    hydra_1 Hercules bojuje s Hydrou, která má 2018 hlav. V každém kole lze useknout maximálně tři hlavy. Pokud odřízne jednu hlavu, okamžitě doroste zpět. Pokud odřízne dvě hlavy, naroste devět hlav. Jsou-li tři hlavy odříznuty, další vývoj závisí na tom, zda zbývaj
  5. Jablka 5
    banan Jablka stojí 50 centů kus, hrušky 60 centů kus, banány levnější než hrušky. Babicka koupila 5ks ovoce, byl tam jen jeden banán a zaplatila 2 eura 75 centů. Kolik bylo jablek a kolik hrušek?
  6. Vstupenky
    oriesky Vstupenky na show stáli nějaký celočíselný počet, větší než 1. Navíc platilo, že součet ceny dětské a dospělácké vstupenky, stejně jako jejich součin byl mocninou prvočísla. Najděte všechny možné ceny vstupenek.
  7. Opice
    monkey Do studny hluboké 29 metrů spadla opice. Každý den se jí daří vyškrábat se 3 metry, v noci však spadne zpět o 2 metry. Na který den se opice dostane ze studny?
  8. Vojíni
    regiment Je dána vzdálenost trasy 249 km, první den jede jeden oddíl cestu tam průměrnou rychlostí 20 km/h a cestu zpátky 19 km/h, druhý den jede druhý oddíl tu samou trasu průměrnou rychlostí 25 km/h tam i zpátky. Kterému oddílu bude cesta trvat déle?
  9. Tři sklenice
    skleniceRGB Tři sklenice různé barvy mají různý objem. Červená 1,5 litrová je naplněna ze 2/5, modrá o objemu 3/4 litru je naplněna z 1/3 a třetí zelená o objemu 1,2 litru je prázdná. Z červené sklenice nalejeme do zelené 1/4 obsahu a z modré nalejeme do zelené 2/5 o
  10. Záhrada
    garden_1 Rozloha čtvercové zahrady tvoří 6/8 rozlohy zahrady tvaru trojúhelníku se stranami 136 m 85 m a 85 m. Kolik metrů pletiva potřebuji na oplocení čtvercové zahrady?
  11. Bazén
    pool Pokud do bazénu přitéká voda současně dvěma přívody, naplní se celý za 19 hodin. Jedním přívodem se naplní o 9 hodin později než druhým. Za jak dlouho se naplní bazén jednotlivými přívody zvlášť?
  12. Dělníci
    forestry_workers V lese je zaměstnáno 45 dělníků sázením stromků. Při 7 hodinové práci denně by skončili práci za 43 dní. Po 18 dnech odejde 22 dělníků; za jaký čas dokončí sázení stromků ostatní, když od toho dne budou pracovat 11 hodin denně?
  13. Prémie
    moeny Hrubá mzda zaměstnance byla 14712 Kč včetně 22% prémie. Kolik Kč byly prémie?
  14. Pohybovka3
    dragway Z Bratislavy do Levíc jede auto rychlostí 78 km/h. Z Levíc do Bratislavy vystartovalo auto rychlostí 71 km/h současně. Kolik minut před utkáním budou auta od sebe vzdáleny 19 km?
  15. Výkop
    vykop_ryha Pán Milan si vypočítal, že výkop pro vodovodní přípojku, vykope za 7 dní. Jeho kamarádovi by to trvalo 8 dní. 4 dny pracoval Milan sám. Potom mu přijel kámoš pomoci a kopal z druhého konce. Kolikátý den od začátku výkopových prací se setkali?
  16. Logika
    blue-barrel Muž vypije sud vody za 34 dní, žena za 55 dní, za kolik dní vypijí sud spolu?
  17. Kořen
    root_quadrat Kořen rovnice ? je: ?