Bonbóny MO Z6-I-5 2017

V plechovce byly červené a zelené bonbóny. Čeněk snědl 2/5 všech červených bonbónů a Zuzka snědla 3/5 všech zelených bonbónů. Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbónů v plechovce.

Kolik nejméně bonbónů mohlo být původně v plechovce?

Správná odpověď:

n =  35

Postup správného řešení:

c = 5 k1 z = 5 k2 c2=12/5=53=0,6 z2=13/5=52=0,4   z z2+c c2c c2 = 83 8 c c2 = 3 c2 c+3 z2 z c3=8 c23 c2=8 0,63 0,6=3 z3=3 z2=3 0,4=56=151=1,2  c3 c = z3 z 3c = 6/5 z 15c = 6z 15=35 6=23 NSN(15,6)=235=30  k3=NSN(15,6)=30 k1=2 k2=5 c=2 5=10 z=5 5=25  n=c+z=10+25=35  s1=3/8=83=0,375 c4=cc 2/5=1010 2/5=6 z4=zz 3/5=2525 3/5=10 s4=c4/(c4+z4)=6/(6+10)=83=0,375 s1=s4



Našel jsi chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.



Zobrazuji 21 komentářů:
Žák
Dokážete to řešení napsat slovy,protož takhle tomu moc nerozumím ;)

6 let  6 Likes
Žák
Bohužel jsem to taky nepochopila, prosím o vysvětlení.
Díky Hanka

6 let  3 Likes
Žák
Co prosím znamená 5k2

Dr Math
k2 je nezname prirodzene cislo . 5k2 je jeho 5-nasobek...

6 let  1 Like
Žák
Co označuje c,c2,c3,z,z2,z3,k1,k2,k3?

6 let  2 Likes
Žák
Já nevím co je c3 a z3

6 let  2 Likes
Tomáš
Nejde mi přidat komentář.

Dr Math
Tomas pise  - Tak za prvé:
Zadání není jednoznačné. (komentar hackmath - zadani MO sorry nad tim zadanim sedeli jine kapacity nez my laici:)

A za druhé:
Výsledek 35 je špatně. Správně je 40.

---------------------------------------------

Správné řešení:

Ad 1:

Třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbónù v plechovce" je neúplná, protože vede ke dvěma možným závěrùm. Buď myšleno jako "ze všech bonbónù, které nyní v plechovce zbyly (po odebrání)" nebo "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
Obě možnosti jsou spočítatelné, ale vedou k rozdílnému výsledku. Pokud se dobře pamatuji na správné zadání, myšleno je "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".

S touto premisou ad 2:

Výsledek 35 je špatně už jen proto, že není beze zbytku dělitelný 8. Připomeňme si větu: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly". Tento předpoklad splňují pouze čísla 8, 16, 24, 32.

Počet červených bonbónù --> x (číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Počet zelených bonbónù --> y (opět číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)

Máme rovnici:
z = x + y
kde "z" je nějaké nejmenší celé číslo (počet všech bonbónù pùvodně v plechovce), na které máme dojít, ale zároveň víme, že je dělitelné 8 beze zbytku.

(Vsuvka: už zde je patrné, že řešením mùže být jedině číslo z řady 40, 80, 120, 160. Pokud jsou čísla "x" a "y" dělitelná beze zbytku 5 a zároveň jejich součet je beze zbytku dělitelný 8, tak jejich součet musí být dělitelný jak 5, tak 8 beze zbytku. A tomu odpovídají pouze čísla z uvedené řady.)

Dále máme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
která nám vyjadřuje větu "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
3/5 x --> znamená počet červených bonbónù zbylých v plechovce po odebrání 2/5 červených bonbónù.
3/8 (x + y) --> znamená 3/8 všech bonbónù v plechovce, které tam pùvodně byly.

řešme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 x = 3/8 x + 3/8 y
24 x = 15 x + 15 y
9 x = 15 y
3 x = 5 y
=======
(x = 5/3 y)

Víme, že "x" a "y" je dělitelné 5 beze zbytku, takže to mohou být pouze čísla 5, 10, 15. tím z předchozí rovnice odvodíme:
Pokud je y = 5 --> pak x = 8,3333. (špatně)
Pokud je y = 10 --> pak x = 16,6666. (špatně)
Pokud je y = 15 --> pak x = 25 (sedí) --> obě čísla jsou dělitelná 5 beze zbytku.

Takže počet červených bonbónù je:
x = 25
a počet zelených bonbónù je:
y = 15

--------------------------------------
Zkouška:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 * 25 = 3/8 (25+15)
3/5 * 25 = 3/8 *40
3 * (25/5) = 3 * (40/8)
3 * 5 = 3 * 5
15 = 15
======
A to je správně.
Takže námi hledané číslo je:
z = x + y
z = 25 + 15
z = 40
=====

A je zároveň nejmenší možné, protože pokud bude "y" 5 nebo 10 (což jsou, jak jsme si ukázali, jediné možné menší alternativy) tak "x" bude necelé číslo, a navíc nebude dělitelné 5. (Nebo jinak: 40 je nejmenší možná alternativa z možné řady výsledkù 40, 80, 120.)

Dr Math
Tomas poslal linku na jeho zpusob reseni:) nicmene

pri cervenych c=10  a zelenych z=25 . Dokopy cili 35. Kdybys spravil zkousku spravnosti j(poslednich 5 radku reseni) ako my, zjistil bys ze snedl 4 cervene a ostalo 6 cervenych a 15 zelenych a ostalo 10 zelenych. cize ostalo 6/(6+10) = 6 / 16 = 3/8 vsech bonbonu...

Tak jak mohlo vyjst 40 bonbonu a ne 35 :D ?!?

6 let  1 Like
Dr Math
Repost od Tomas:

Ahoj jeste jednou.

Tak jsem se na to kukl, a dosel jsem na to, proc se rozchazime:

---

Jak jsem psal, pocital jsem dale s premisou "ze vsech bonbonu, ktere (pred odebranim) v plechovce puvodne byly". S timto zakladem vychazi celkovy pocet 40.

Ted jsem si to prosel poradne a zjistil jsem, ze ty jsi pocital s druhou premisou, a to: "ze vsech bonbonu, ktere nyni v plechovce zbyly (po odebrani)", kde skutecne vysledek vyjde 35. (Taky jsem avizoval, že to vede k rozdilnym vysledkum, ale blbec jsem si nespocital tu druhou moznost :D coz je moje chyba.)

Pouzita rovnice by tedy byla:
3/5 x = 3/8 (3/5 x + 2/5 y) --- pocet cervenych bonbonu, ktere zustaly = 3/8 zbytku (zustatek cervenych + zustatek zelenych)

Nicmene z toho plyne krasne ponauceni (a to nemyslim na tebe Dr Math): "Jednoznaènost zadani vede k jednoznacnemu vysledku."

Great challenge, po dlouhe dobe jsem si pekne zapocital. Moc dik.

6 let  1 Like
@user
Výsledek je 40. Z toho důvodu , ze 40 je nejnizsi možné číslo, které lze rozdělit jak na pětiny tak i osminy (aby bylo výsledkem cele číslo ( rozuměj cely bonbon))

6 let  1 Like
Dr Math
Tym lidem co stale tu pisu o 40 jako o řešení třeba jen vzkázat že ať si přečte zadani jeste jednou, otestujuci ci 35 je správní řešení a nebe 40 je spravne reseni ... 35 je dělitelné 5. Proc by proboha melo byt dělitele 8? dělitelné 8 ma byt novy stav bonbonu 16 a ta je dělitelná 8 (a nemusi byt 5).

Odteď smažu kazdy nesmysel o 40: D Zadání je jednoznačné, Tomas se mýlil hned v prvni úvahu ... když napsal "Zadání není jednoznačné" .... a třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbonu v plechovce" je přece to ze zůstalo 6 červených z 16 celkových bonbonu ... Tam se nepočítej ti snědené ... ti jsou v břiše ne v plechovce...

6 let  1 Like
Žák
Co znamená NSN?

Dr Math
NSN = nejmensi spolecni nasobek, ucivo cca 6 rocniku ZS

6 let  1 Like
Žák
Ja nerozumim tomu resenim

Žák
Prosim vysvetlete mi to

Žák
Co znamena c

Dr Math
c =cervene (rude), z = zelene bonbony, pocet

Matěj
Prosím pro cca kolikátý ročník je toto úloha?
díky m.

Dr Math
6 rocnik matematicka olympiada...

Žák
Dobrý den.  Jsem student 5 ročníku a koukal jsem se i na težší úlohy. Jen bych se chtěl zeptat jak zjistím, že červených je 10 a zelených 25? Vím, že je to možná hloupá otázka a  vy budete nade mnou kroutit halvou, ale byl bych rád kdybyste mi někdo ukázal postup jak dostat ta čísla.





Tipy na související online kalkulačky
Chceš si vypočítat nejmenší společný násobek dvou nebo více čísel?
Potřebujete pomoci sčítat, zkrátít či vynásobit zlomky? Zkuste naši zlomkovou kalkulačku.
Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?

Související a podobné příklady: