MO Z8-I-1 2018
Ferda a David se denně potkávají ve výtahu. Jednou ráno zjistili, že když vynásobí své současné věky, dostanou 238. Kdyby totéž provedli za čtyři roky, byl by tento součin 378.
Určete součet současných věků Ferdy a Davida.
Určete součet současných věků Ferdy a Davida.
Správná odpověď:
Zobrazuji 5 komentářů:
Dr Math
Nápověda. Může být Ferdovi (či Davidovi) 8, 15 nebo 47 let?
Možné řešení. Číslo 238 lze rozložit na součin dvou čísel následujícími způsoby:
238 = 1 · 238 = 2 · 119 = 7 · 34 = 14 · 17.
Mezi těmito dvojicemi jsou současné věky Ferdy a Davida. Po přičtení 4 ke každému z nich máme dostat součin 378. Proberme všechny možnosti:
(1 + 4) · (238 + 4) = 1210,
(2 + 4) · (119 + 4) = 738,
(7 + 4) · (34 + 4) = 418,
(14 + 4) · (17 + 4) = 378.
Jediná vyhovující možnost je ta poslední — jednomu z chlapců je 14 let, druhému 17.
Součet současných věků Ferdy a Davida je 31 let.
Poznámka. Alternativně lze vyhovující dvojici nalézt pomocí rozkladů 378, které jsou:
378 = 1 · 378 = 2 · 189 = 3 · 126 = 6 · 63 = 7 · 54 = 9 · 42 = 14 · 27 = 18 · 21.
Jediné dvojice v rozkladech 238 a 378, v nichž jsou oba činitelé druhého rozkladu o 4 vetší než u prvního, jsou 14 a 17, resp. 18 a 21.
Extrémní hodnoty v uvedených rozkladech lze vyloučit jako nereálné. Pokud řešitel s odkazem na tuto skutečnost neprobere všechny možnosti, považujte jeho postup za správný.
Jiné řešení.
Pokud současný věk Ferdy označíme f a současný věk Davida označíme d, potom informace ze zadání znamenají
f · d = 238 a (f + 4) · (d + 4) = 378.
Po roznásobení levé strany v druhé podmínce a dosazením první podmínky dostáváme:
238 + 4f + 4d + 16 = 378,
4(f + d) = 124,
f + d = 31.
Součet současných věků Ferdy a Davida je 31 let.
Možné řešení. Číslo 238 lze rozložit na součin dvou čísel následujícími způsoby:
238 = 1 · 238 = 2 · 119 = 7 · 34 = 14 · 17.
Mezi těmito dvojicemi jsou současné věky Ferdy a Davida. Po přičtení 4 ke každému z nich máme dostat součin 378. Proberme všechny možnosti:
(1 + 4) · (238 + 4) = 1210,
(2 + 4) · (119 + 4) = 738,
(7 + 4) · (34 + 4) = 418,
(14 + 4) · (17 + 4) = 378.
Jediná vyhovující možnost je ta poslední — jednomu z chlapců je 14 let, druhému 17.
Součet současných věků Ferdy a Davida je 31 let.
Poznámka. Alternativně lze vyhovující dvojici nalézt pomocí rozkladů 378, které jsou:
378 = 1 · 378 = 2 · 189 = 3 · 126 = 6 · 63 = 7 · 54 = 9 · 42 = 14 · 27 = 18 · 21.
Jediné dvojice v rozkladech 238 a 378, v nichž jsou oba činitelé druhého rozkladu o 4 vetší než u prvního, jsou 14 a 17, resp. 18 a 21.
Extrémní hodnoty v uvedených rozkladech lze vyloučit jako nereálné. Pokud řešitel s odkazem na tuto skutečnost neprobere všechny možnosti, považujte jeho postup za správný.
Jiné řešení.
Pokud současný věk Ferdy označíme f a současný věk Davida označíme d, potom informace ze zadání znamenají
f · d = 238 a (f + 4) · (d + 4) = 378.
Po roznásobení levé strany v druhé podmínce a dosazením první podmínky dostáváme:
238 + 4f + 4d + 16 = 378,
4(f + d) = 124,
f + d = 31.
Součet současných věků Ferdy a Davida je 31 let.
Tipy na související online kalkulačky
Hledáte pomoc s výpočtem kořenů kvadratické rovnice?
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?
Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?
Chcete proměnit jednotky času, např. hodiny na minuty?
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?
Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?
Chcete proměnit jednotky času, např. hodiny na minuty?
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
- algebra
- kvadratická rovnice
- rovnice
- celočíselná rovnice
- soustava rovnic
- bikvadratická rovnice
- základní funkce
- úvaha
- čísla
- přirozená čísla
Jednotky fyzikálních veličin:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- Plán dnes
Traktorista má plán zorat 24 ha pole. Zoral již 20,64 ha. Na kolik procent již splnil plán? - Vydrží 83209
z Uhlí pro 15 rodin vydrží 60 dní. Kolik dní vydrží uhlí pro 20 rodin? - Za rybníkem
Za rybníkem lyžuje kocour Mikeš a sankuje bobes svah dlouhý 300 sjede opatrný bobes za minutu. O kolik km/h sjede kopec rychleji Mikeš než bobes je-li dole o 20 sekund dřív? - Pokémony
Jenda, Milan a Tomáš mají dohromady 203 kartiček s Pokémony. Jenda má dvakrát více kartiček než Tomáš. Milan má čtvrtinu z Jendova počtu kartiček. a) Kolik kartiček má Jenda? b) O kolik kartiček méně má Milan než Jenda s Tomášem dohromady? - Lanovka 8
Lanovka může vyvést danou skupinu lyžařů za 20 minut vlek za 30 minut. Za jak dlouho vyvezou tuto skupinu vlek a lanovka současně? - Učebnice - knihy
V 9 h. ráno vyjelo z Brna nákladní auto s učebnicemi rychlosti 50 km/h, v 9 hodin 30 minut za nim vyjelo osobní auto s další dodávkou učebnic rychlosti 70km/h. Kdy dohoní osobní auto nákladní auto? - Osobní 4
Osobní vlak dojede z Brna do Bratislavy ( 144km ) za 3 h., nákladní vlak ujede tuto vzdálenost za 4,5 h. Za jak dlouho se setkají, vyjedou -li současně proti sobě osobní vlak z Brna a nákladní vlak z Bratislavy? Kolik km ujede osobní a kolik nákladní vlak - Z Ostravy
Z Ostravy vyjelo nákladní auto rychlosti 45km/h. Když ujelo 15 km, vyjelo za nim osobní auto rychlosti 90km/h. Za jak dlouho dohoní osobní auto nákladní auto? Jak daleko od Ostravy? - Nádrž 32
Nádrž se naplní jedním přítokem za 30 minut, druhým za 24 minut. Za kolik minut se naplní, jsou-li otevřeny oba průtoky současně. - Nádrž 31
Nádrž o objemu 15 hl má dva přítoky. Jedním přitéká 5 litrů za minutu, druhým 3 litry za minutu. Za jakou dobu se nádrž naplní oběma přítoky současně? - Dva kopáči 3
Starší kopač by vykopal příkop sám za 6 hodin. Mladší kopač zvládne ten stejný příkop za 3 hodiny. Jak dlouho by jim vykopaní trvalo, kdyby pracovali společně? - Firma 6
Firma K+S poseče louku za deset hodin. Firma Sekačka poseče louku za šest hodin. Za kolik hodin by tyto firmy posekaly jednu takovou louku, pokud by pracovaly společně? - Kapacita 3
Kapacita akumulátoru je 50 Ah. Proudem 5A dobijeme akumulátor za 10 hodin na 100% kapacity. Na kolik procent kapacity dobijeme akumulátor proudem 2A za 15 hodin? - Patnáct 5
Patnáct kilometrů před námi jede automobil rychlostí 70 km/h. My jedeme průměrnou rychlostí 100 km/h. Za kolik minut automobil dohoníme? - Kotelna
Je-li v chodu pouze první kotel, vystačí zásoba uhlí na 8 dnů. Je-li v chodu pouze druhý kotel, vystačí zásoba uhlí na 12 dnů. Je-li v chodu pouze třetí kotel, vystačí zásoba uhlí na 6 dnů. Na kolik dnů celkem vystačí zásoba uhlí, bude-li první dva dny v - Sedm brigádníků
Sedm brigádníků za 5 hodin natře 280 m zábradlí. Kolik metrů zábradlí natře devět brigádníků za 4 hodiny - Z Olomouce
Z Olomouce směrem na Zábřeh vyjel v 6 h 30 min cyklista průměrnou rychlostí 24km/h. V 7 h 40 min vyjel z Olomouce opačným směrem na Ostravu cyklista průměrnou rychlostí 36km/h. V kolik budou od sebe vzdáleni 112 km?