MO Z8-I-1 2018

Ferda a David se denně potkávají ve výtahu. Jednou ráno zjistili, že když vynásobí své současné věky, dostanou 238. Kdyby totéž provedli za čtyři roky, byl by tento součin 378.

Určete součet současných věků Ferdy a Davida.

Výsledek

s =  31

Řešení:

a (sa)=238 (a+4) (sa+4)=378  asa2=238 asa2+4a+4s4a+16=378  asa2=238 asa2+4s+16=378   238+4s+16=378  4s=124  s=31 =31a \cdot \ (s-a) = 238 \ \\ (a+4) \cdot \ (s-a+4) = 378 \ \\ \ \\ as-a^2 = 238 \ \\ as-a^2+4a +4s-4a+16 = 378 \ \\ \ \\ as-a^2 = 238 \ \\ as-a^2+4s+16 = 378 \ \\ \ \\ \ \\ 238 + 4s + 16 = 378 \ \\ \ \\ 4s = 124 \ \\ \ \\ s = 31 \ \\ = 31

Rovnice mají následující celočíselné řešení:
a*(s-a)=238
(a+4)*(s-a+4) = 378


Počet nalezených řešení: 2
a1=14, s1=31
a2=17, s2=31

Vypočtené naším kalkulátorem Diofantovských problémů a celočíselných rovnic.







Napište nám komentář ke příkladu (úlohe) a jeho řešení (například pokud je stále něco nejasné nebo máte jiné řešení, nebo příklad nevíte vypočítat, nebo-li řešení je nesprávné...):

Zobrazuji 5 komentářů:
#
Ari
Máte někdo u tohoto cvičení řešení??

#
Dr Math
A zkouseli jste kliknut na "Zkontroluj a zobraz reseni" ?

10 měsíců  1 Like
#
Žák
jak jste prisli na 16

#
Dr Math
4*4=16

#
Dr Math
Nápověda. Může být Ferdovi (či Davidovi) 8, 15 nebo 47 let?

Možné řešení. Číslo 238 lze rozložit na součin dvou čísel následujícími způsoby:
238 = 1 · 238 = 2 · 119 = 7 · 34 = 14 · 17.
Mezi těmito dvojicemi jsou současné věky Ferdy a Davida. Po přičtení 4 ke každému z nich máme dostat součin 378. Proberme všechny možnosti:
(1 + 4) · (238 + 4) = 1210,
(2 + 4) · (119 + 4) = 738,
(7 + 4) · (34 + 4) = 418,
(14 + 4) · (17 + 4) = 378.
Jediná vyhovující možnost je ta poslední — jednomu z chlapců je 14 let, druhému 17.
Součet současných věků Ferdy a Davida je 31 let.
Poznámka. Alternativně lze vyhovující dvojici nalézt pomocí rozkladů 378, které jsou:
378 = 1 · 378 = 2 · 189 = 3 · 126 = 6 · 63 = 7 · 54 = 9 · 42 = 14 · 27 = 18 · 21.
Jediné dvojice v rozkladech 238 a 378, v nichž jsou oba činitelé druhého rozkladu o 4 vetší než u prvního, jsou 14 a 17, resp. 18 a 21.
Extrémní hodnoty v uvedených rozkladech lze vyloučit jako nereálné. Pokud řešitel s odkazem na tuto skutečnost neprobere všechny možnosti, považujte jeho postup za správný.

Jiné řešení.

Pokud současný věk Ferdy označíme f a současný věk Davida označíme d, potom informace ze zadání znamenají
f · d = 238 a (f + 4) · (d + 4) = 378.
Po roznásobení levé strany v druhé podmínce a dosazením první podmínky dostáváme:
238 + 4f + 4d + 16 = 378,
4(f + d) = 124,
f + d = 31.
Součet současných věků Ferdy a Davida je 31 let.

avatar









Hledáte pomoc s výpočtem kořenů kvadratické rovnice? Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici? Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?

Další podobné příklady a úkoly:

  1. Z7–I–5 MO 2018
    ruze_5 V zahradnictví Rose si jedna prodejna objednala celkem 120 růží v barvě červené a žluté, druhá prodejna celkem 105 růží v barvě červené a bílé a třetí prodejna celkem 45 růží v barvě žluté a bílé. Zahradnictví zakázku splnilo, a to tak, že růží stejné bar
  2. MO Z9-I-6 2019
    triangles Kristýna zvolila jisté liché přirozené číslo dělitelné třemi. Jakub s Davidem pak zkoumali trojúhelníky, které mají obvod v milimetrech roven Kristýnou zvolenému číslu a jejichž strany mají délky v milimetrech vyjádřeny navzájem různými celými čísly. Jak
  3. Z9–I–3 - 2017 kafemlýnky2
    robots Roboti Robert a Hubert skládají a rozebírají kafemlýnky. Přitom každý z nich kafemlýnek složí čtyřikrát rychleji, než jej sám rozebere. Když ráno přišli do dílny, několik kafemlýnků už tam bylo složeno. V 7:00 začal Hubert skládat a Robert rozebírat, přes
  4. V Kocourkově - Z8-I-6 2019 MO
    mince_1 V Kocourkově používají mince pouze se dvěma hodnotami, které jsou vyjádřeny v kocourkovských korunách kladnými celými čísly. Pomocí dostatečného množství takových mincí je možné zaplatit jakoukoli celočíselnou částku větší než 53 kocourkovských korun, a t
  5. Dve tětivy
    tetivy Vypočítejte délku tětivy AB a k ní kolmé tětivy BC, pokud tětiva AB je od středu kružnice k vzdálená 4 cm a tětiva BC má vzdálenost 8 cm.
  6. Stěny kvádru
    cuboid_9 Vypočítejte objem kvádru, pokud jeho různé stěny mají obsahy 195cm², 135cm² a 117cm².
  7. Eur za kus
    cukriky_9 Za 80 výrobků dvojí jakosti se utržilo celkem 175 Eur. Jestliže výrobek prvé jakosti se prodával po n Eur za kus (n přirozené číslo) a výrobek druhé jakosti po dvou Eur za kus, kolik kusů prvé jakosti bylo prodáno?
  8. Délky stran a úhly
    rt_triangle_1 Vypočtěte délky stran a úhly v pravoúhlém trojúhelníku. S = 210, o = 70.
  9. V hotelu
    hotel-montfort-tatry-2_2 V hotelu Holiday mají na každém patře stejný počet pokojů. Pokoje jsou číslovány přirozenými čísly postupně od prvního patra, žádné číslo není vynecháno a každý pokoj má jiné číslo. Do hotelu přicestovali tři turisté. První se ubytoval v pokoji číslo 50 n
  10. Stěnové úhlopříčky
    cuboid_1 Pokud jsou stěnové úhlopříčky kvádru x, y a z (diagonály), pak najděte objem kvádru. Vyřešte pro x = 1.3, y = 2, z = 1.4
  11. Úsečky
    segments Úsečky délek 67 cm a 3.1 dm máme rozdělit na stejné díly tak, aby jejich délka v centimetrech byla vyjádřena celým číslem. Kolika způsoby je můžeme dělit?
  12. Bikvadratická
    eq2_6 Najděte největší přirozené číslo d, které má tu vlastnost, že pro libovolné přirozené číslo n je hodnota výrazu V(n)=n4+11n2−12 dělitelná číslem d.
  13. Stromky
    stromy_3 Sadař koupil stromky za 960 KČ. Kdyby byl každý stromek o 12 KČ lacinější, byl by sadař za tytéž peníze dostal o 4 stromky více. Kolik stromků koupil?
  14. Dvojciferné 3
    number_line_3 Ciferný součet dvojciferného čísla je devět. Když čísla obrátíme a vynásobíme původním dvojciferným číslem, dostaneme číslo 2430. Jaké je původní dvojciferné číslo?
  15. Délky stran AP
    rt_triangle_2 Délky stran pravoúhlého trojúhelníka s delší odvěsnou 12 cm tvoří aritmetickou posloupnost. Obsah trojúhelníka je?
  16. Rovnice hyperboly
    hyperbola_4 Napište rovnici hyperboly se středem S [0; 0], která prochází body: A [5; 3] B [8; -10]
  17. Připočteme-li
    seq_sum Připočteme-li totéž číslo x k číslům -1,3,15,51 dostaneme první 4 členy geometrické posloupnosti. Vypočtěte číslo x a první 4 členy geometrické posloupnosti.