C – I – 3 MO 2018
Nechť a, b, c jsou kladná reálná čísla, jejichž součet je 3, a každé z nich je nejvýše 2.
Dokažte, že platí nerovnost:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Dokažte, že platí nerovnost:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Správná odpověď:
Zobrazuji 3 komentáře:
Dr Math
Návodné a doplňující úlohy:
N1. Pro reálná čísla se součtem 3 platí navíc a2 + b2 + c2 = 5. Jaké hodnoty může nabývat výraz ab+bc+ca? [Jelikož (a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 + 2(ab+bc+ca), je nutně ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosažitelná díky trojici (2, 1, 0).]
N2. Nezáporná reálná čísla a, b, c jsou všechna nejvýše rovna 1. Dokažte, že 3abc <= a + b + c. Kdy nastane rovnost? [Upravíme na a(1 − bc) + b(1 − ac) + c(1 − ab) >= 0, výrazy v závorkách jsou nezáporné. Rovnost nastane, právě když buď a = b = c = 0, nebo a = b = c = 1.]
D1. Dokažte, že pro reálná čísla a, b, c platí a2 +b2 +c2 >= ab+bc+ca. Kdy nastane rovnost? [Nerovnost je ekvivalentní s (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0, která jistě platí. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c.]
D2. Reálná čísla a, b, c mají součet 3. Dokažte, že 3 = ab + bc + ca. Kdy nastane rovnost? [Plyne z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) a z předešlé úlohy. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c = 1.]
D3. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x, y, z platí nerovnost x2 + 5y2 + 4z2 = 4y(x + z), a zjistěte, kdy nastane rovnost. [Anulujte pravou stranu dané nerovnosti a upravte ji následně do tvaru (x2 − 4xy + 4y2 ) + (y2 − 4yz + 4z2 ) = 0, kde na levé straně je nezáporný součet (x − 2y)2 + (y − 2z)2 . Rovnost zde nastane, právě když platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je libovolné reálné číslo.]
D4. Nechť a, b, c jsou délky stran trojúhelníku. Dokažte, že platí nerovnost 3a2 + 2bc > 2ab + 2ac. [Danou nerovnost upravte na tvar a 2 −(b−c)2 + (a−b)2 + (a−c)2 > 0 a rozdíl prvních dvou druhých mocnin nahraďte příslušným součinem.]
N1. Pro reálná čísla se součtem 3 platí navíc a2 + b2 + c2 = 5. Jaké hodnoty může nabývat výraz ab+bc+ca? [Jelikož (a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 + 2(ab+bc+ca), je nutně ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosažitelná díky trojici (2, 1, 0).]
N2. Nezáporná reálná čísla a, b, c jsou všechna nejvýše rovna 1. Dokažte, že 3abc <= a + b + c. Kdy nastane rovnost? [Upravíme na a(1 − bc) + b(1 − ac) + c(1 − ab) >= 0, výrazy v závorkách jsou nezáporné. Rovnost nastane, právě když buď a = b = c = 0, nebo a = b = c = 1.]
D1. Dokažte, že pro reálná čísla a, b, c platí a2 +b2 +c2 >= ab+bc+ca. Kdy nastane rovnost? [Nerovnost je ekvivalentní s (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0, která jistě platí. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c.]
D2. Reálná čísla a, b, c mají součet 3. Dokažte, že 3 = ab + bc + ca. Kdy nastane rovnost? [Plyne z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) a z předešlé úlohy. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c = 1.]
D3. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x, y, z platí nerovnost x2 + 5y2 + 4z2 = 4y(x + z), a zjistěte, kdy nastane rovnost. [Anulujte pravou stranu dané nerovnosti a upravte ji následně do tvaru (x2 − 4xy + 4y2 ) + (y2 − 4yz + 4z2 ) = 0, kde na levé straně je nezáporný součet (x − 2y)2 + (y − 2z)2 . Rovnost zde nastane, právě když platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je libovolné reálné číslo.]
D4. Nechť a, b, c jsou délky stran trojúhelníku. Dokažte, že platí nerovnost 3a2 + 2bc > 2ab + 2ac. [Danou nerovnost upravte na tvar a 2 −(b−c)2 + (a−b)2 + (a−c)2 > 0 a rozdíl prvních dvou druhých mocnin nahraďte příslušným součinem.]
Žák
A co tohle jestli a, b, c jsou kladná reálná čísla a ab + bc + ca = 1 najděte hodnotu tohoto výrazu (b2+1) /a+b + b (c2+1) /b+c + c (a2+1) /c+a?
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- V půjčovně aut
Pan Rezek si chce na jeden den pronajmout osobní automobil Opel Corsa. Může si vybrat ze dvou tarifů za pronájem: Tarif 1: Denní paušál ve výši 1 400Kč. Tarif 2: Denní pronájem 360Kč a navíc za každý ujetý kilometr 4,50 Kč. Pro jaký počet ujetých kilometr - V městských
V městských lázních každý návštěvník zaplatí 100 Kč za 90 minut. S městskou kartou zaplatí návštěvník za stejný čas 50Kč. Cena městské karty je 300Kč. Martin s Emilem chodí plavat vždy společně a jejich návštěva trvá právě 90 minut. Martin si koupil městs - Karel 5
Karel má z pětiminutovek průměr známek přesně 1,12. Dokažte, že z nich má aspoň 22 jedniček. - Pan Špaček
Pan Špaček chová ptáky. Má jich více než 50 a méně než 100. Andulky tvoří devítinu a kanáři čtvrtinu celkového počtu. Kolik ptáků choval? - V aritmetické
V aritmetické posloupnosti a1=4,8, d=0,4. Kolik po sobě jdoucích členů, počínaje prvním, je třeba sčítat, aby byl součet větší než 170? - 2375 nerovnice
2375 < x napiš k nerovnici dvě řešení - Grafickou metodou
Na začátku pohybu jelo auto rychlostí 120 km/ha tuto rychlost si udržovalo prvních 11 sekund. Potom začalo ještě zrychlovat tak, že za každou vteřinu zrychlilo o 6km/h, dokud nedosáhlo rychlosti 150 km/h. Potom začalo zpomalovat až za 15 sekund zastalo. a - Následujících 45741
Vypočítejte: 1. Dané množiny zapište jako intervaly, znázorněte graficky: {x ∈ R; 2< x ≤ 5} = {x ∈ R; 3 ≥ x} = {x ∈ R+; x < 4} = {x ∈ R; x < 4 ∧ x ≥ -1} = 2. Vyjmenujte všechny prvky následujících množin, zapište do množinové závorky: A = { x Є N; x - Kolik
Kolik je takových trojmístných čísel, které nejsou na číselné ose blíže k číslu 600 jako k číslu 400? - Největší obvod
Trojúhelník má jednu stranu dlouhou 5cm a druhou 11cm. Jaký může mít nejmenší a jaký největší obvod? - Otevřené intervaly
Dané jsou otevřené intervaly A = (x-2; 2x-1) a B = (3x-4; 4). Najděte největší reálné číslo, pro které platí A ⊂ B. - Kvadratickou 33371
Řešte kvadratickou nerovnici: -2x² + 4x + 6 < 0 - Vyhovující 33081
Napište nejmenší přirozené číslo vyhovující nerovnici: 5. (2x-1) < 17x-(-14) - Rychlostí 14291
Kdyby turista snížil svou rychlost o 1km/h, za 3 hodiny by ušel méně než 12 km. Kdyby přidal do kroku o 1km/h, za 5 hodin by ušel více než 25 km. Jakou rychlostí jede turista? - Obvod obdélníku
Délka obdélníku l je o 4 palce větší než jeho šířka, w. Obvod obdélníku je nejméně 30 palců. Jaká nerovnost ukazuje rozsah možných šířek obdélníku? - Absolutní 12021
Řeš na Z - nerovnici s absolutní hodnotou: |x-18|+4 > 1 - Pravděpodobnost 7991
Máš čísla 4, 6, 9, 13, 15. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodně vybrané trojici to budou délky stran trojúhelníku? ( Uvažuj jen různostranné trojúhelníky. )