Uhlopříčky 19

Určete délky uhlopříček kosočtverce, je-li obsah 156 cm² a strana 13 cm.

Správný výsledek:

u =  21,6333 cm
v =  14,4222 cm

Řešení:

$$\begin{gathered} S=156{\text{cm}}^2 \\ a=13\text{ cm } \\ S=ah={\displaystyle \frac{uv}{2}} \\ h=S\mathrm{/}a=156\mathrm{/}13=12\text{ cm } \\ (u\mathrm{/}2{)}^2+(v\mathrm{/}2{)}^2=a^2 \\ {u}^2+v^2=4a^2 \\ {u}^2+v^2=1352 \\ uv=2S=312 \\ {u}^2+(2S\mathrm{/}u{)}^2=4a^2 \\ {u}^2+312^2\mathrm{/}{u}^2=676 \\ x=u^2 \\ x+97344\mathrm{/}x=676 \\ {x}^2+97344=676x \\ {x}^2-676x+97344=0 \\ a=1;b=-676;c=97344 \\ D=b^2-4ac=676^2-4\cdot 1\cdot 97344=67600 \\ D>0 \\ {x}_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}}={\displaystyle \frac{676\pm \sqrt{67600}}{2}} \\ {x}_{1,2}={\displaystyle \frac{676\pm 260}{2}} \\ {x}_{1,2}=338\pm 130 \\ {x}_1=468 \\ {x}_2=208 \\ \text{ Soucinovy tvar rovnice: } \\ (x-468)(x-208)=0 \\ {u}_1=\sqrt{x_1}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}\doteq 21.6333 \\ {u}_2=\sqrt{x_2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}\doteq 14.4222 \\ u=u_1=21.6333=6\sqrt{13}=21.6333\text{ cm} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$$\begin{gathered} v=2\cdot S\mathrm{/}u=2\cdot 156\mathrm{/}21.6333=4\sqrt{13}\doteq 14.4222=14.4222\text{ cm } \\ v=u_2 \\ {S}_2={\displaystyle \frac{u\cdot v}{2}}={\displaystyle \frac{21.6333\cdot 14.4222}{2}}=156{\text{cm}}^2 \\ {a}_2=\sqrt{(u\mathrm{/}2{)}^2+(v\mathrm{/}2{)}^2}=\sqrt{(21.6333\mathrm{/}2{)}^2+(14.4222\mathrm{/}2{)}^2}=13\text{ cm} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad

Zobrazuji 2 komentáře:

Žák

Chybně opsané zadání nesplňuje podmínku a ˃ h, celý výpočet pak postrádá smysl.
Správně: u1 = 4*sqrt(13), u2 = 6*sqrt(13).
Asi jednodušší řešení jen pomocí Pythagorovy věty, netřeba řešit kvadratické rovnice.

2 roky  Like

Dr Math

Dekuji, mate samozrejme pravdu. Ono to tak blbo sa zamenilo ze 12 strana a 13 vyska (spravne malo byt 13 strana - ze zadani, 12 vyska)

2 roky  Like

Další podobné příklady a úkoly:

• Rozloha
  Rozloha čtvercové zahrady tvoří 3/4 rozlohy trojúhelníkové zahrady se stranami 80 m, 50 m, 50 m. Kolik metrů pletiva potřebujeme na oplocení čtvercové zahrady?
• Řez železničním
  Řez železničním náspem je rovnoramenný lichoběžník, jehož velikosti základen jsou v poměru 5:3. Ramena mají délku 5 m a výška násypu je 4,8m. Vypočti velikost plochy řezu náspu.
• Poměr obsahů
  Délky stran dvou čtverců jsou v poměru 5:7 v jakém poměru budou jejich obsahy?
• Výška trojúhelníku 2
  Jakou výšku má trojúhelník s obsahem 7,8 cm² a stranou a = 5,2 cm. (Výpočet a postup)
• Obsah a obvod obdělníka
  Obsah obdělníka je 3000 cm², jeden rozměr je o 10 cm větší než druhý. Určete obvod obdělníka.
• Čtvercova zahrada
  Zahrádka paní Petrové měla tvar čtverce se stranou délky 15 m. Po jejím zvětšením o 64 m² (čtverečních) měla opět tvar čtverce. O kolik metrů byla prodloužena délka každé strany zahrádky?
• Koule ve kuželi
  Do kužele je vepsána koule (průnik jejich hranic se skládá z kružnice a jednoho bodu). Poměr povrchu koule a obsahu podstavy je 4: 3. Rovina, která prochází osou kužele, řeže kužel v rovnoramenném trojúhelníku. Určete velikost úhlu oproti základně tohoto
• Obsah 24
  Obsah trojúhelníka je 35 cm². Velikost základny je 10 cm. Určete velikost výšky na základnu.
• Jedna 7
  Jedna ze základen lichoběžníku je o pětinu větší než jeho výška, druhá je větší o 1 cm. Urči rozměry lichoběžníku, pokud je jeho plocha 115 cm²
• Podstava 4b hranolu
  Pravidelný čtyřboký hranol má povrch 250 dm², jeho plášť má obsah 200 dm². Vypočítejte jeho podstavnou hranu.
• Válcovitá
  Válcovitá nádoba o průměru 1,8 m obsahuje 2 000 litrů vody. Do jaké výšky sahá voda?
• 15-úhelník
  Vypočítejte obsah pravidelného 15-úhelníka vepsaného do kružnice o poloměru r = 4. Výsledek uveďte s přesností na dvě desetinná místa.
• Objem hranolu
  Povrch pravidelného čtyřbokého hranolu je 8800 cm², podstavová hrana má délku 20 cm. Vypočítej objem hranolu.
• Obvod a šířka
  Obvod a šířka obdélníku jsou v poměru 5: 1. jeho obsah je 216cm2. Jaká je jeho délka?
• Plocha stanu
  Vypočítejte, kolik plátna (bez podlahy) se spotřebuje na zhotovení stanu, který má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu. Hrana podstavy má délku 3 m a výška stanu je 2m.
• 4b jehlan nepravidelný
  Vypočítej povrch čtyřbokého jehlanu, který má obdélníkovou podstavu s rozměry a= 8 cm, b = 6 cm a výšku v = 10 cm.
• V trojúhelníku
  V trojúhelníku ABC platí, že výška na stranu a je 6cm. Výška na stranu b se rovná 9 cm. Strana "a" je o 4cm delší než strana "b". Vypočtěte délky stran a, b.