MO Z9 2019 domace kolo

V trojúhelníku ABC leží bod P ve třetině úsečky AB blíže bodu A, bod R je ve třetině úsečky P B blíže bodu P a bod Q leží na úsečce BC tak, že úhly P CB a RQB jsou shodné.

Určete poměr obsahů trojúhelníků ABC a PQC.

Výsledek

p =  9:2

Řešení:

AB=a AP=13a PR=13 23a=29a RB=(11329)a=49a  S(ABC)=a h2  S(APC)=AP h2=13 a h2=13 S(ABC) S(PCB)=S(ABC)S(APC)=23 S(ABC)  PCB......RQB  h2=23 h S(PQB)=PB h22=23 a 23 h2=49 S(ABC)  S(PQC)=S(ABC)S(APC)S(PQB)=S(ABC)(11349) S(PQC)=k S(ABC)  k=11349=290.2222 p=S(ABC):S(PQC) p=1/k=1/0.2222=92=4.5=924.5=9:2|AB|=a \ \\ |AP|=\dfrac{ 1 }{ 3 } a \ \\ |PR|=\dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \ \dfrac{ 2 }{ 3 } a=\dfrac{ 2 }{ 9 } a \ \\ |RB|=(1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } - \dfrac{ 2 }{ 9 } ) a=\dfrac{ 4 }{ 9 } a \ \\ \ \\ S(ABC)=\dfrac{ a \cdot \ h }{ 2 } \ \\ \ \\ S(APC)=\dfrac{ |AP| \cdot \ h }{ 2 }=\dfrac{ \dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \ a \cdot \ h }{ 2 }=\dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \ S(ABC) \ \\ S(PCB)=S(ABC) - S(APC)=\dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ S(ABC) \ \\ \ \\ PCB ... ... RQB \ \\ \ \\ h_{2}=\dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ h \ \\ S(PQB)=\dfrac{ |PB| \cdot \ h_{2} }{ 2 }=\dfrac{ \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ a \cdot \ \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ h }{ 2 }=\dfrac{ 4 }{ 9 } \cdot \ S(ABC) \ \\ \ \\ S(PQC)=S(ABC) - S(APC) - S(PQB)=S(ABC)( 1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } - \dfrac{ 4 }{ 9 } ) \ \\ S(PQC)=k \cdot \ S(ABC) \ \\ \ \\ k=1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } - \dfrac{ 4 }{ 9 }=\dfrac{ 2 }{ 9 } \doteq 0.2222 \ \\ p=S(ABC) : S(PQC) \ \\ p=1/k=1/0.2222=\dfrac{ 9 }{ 2 }=4.5=\dfrac{ 9 }{ 2 } ≐ 4.5=9:2



Naše příklady z velké míry nám poslali nebo vytvořili samotní žáci a studenti. Proto budeme velmi rádi, pokud případně chyby, které jste našli, pravopisné chyby nebo přeformulování příkladu nám prosím pošlete. Děkujeme!





Napište nám komentář ke příkladu (úlohe) a jeho řešení (například pokud je stále něco nejasné nebo máte jiné řešení, nebo příklad nevíte vypočítat, nebo-li řešení je nesprávné...):

Zobrazuji 6 komentářů:
#
E
Proč je h2 2/3 h1?

7 měsíců  4 Likes
#
Domeček
Ano, proč je h1 3/2 h2?

7 měsíců  1 Like
#
Bbb
Jak jste udelali z 9/2 9:1?

#
Zak
no prosime k veci... kde v priklade vidite 9:1 ???

#
Žák
proc je h2 2/3 h1

6 měsíců  2 Likes
#
Žák
Trojúhelníky PBC a RBQ jsou si podobné, protože mají stejné vnitřní úhly. Pak platí, že poměr příslušných stran (popř. výšek) musí být stejný. |PB|/h = |RB|/h1.

5 měsíců  1 Like
avatar









Tipy na související online kalkulačky
Vyzkoušejte naši kalkulačka na přepočet poměru.
Vyzkoušejte také naši kalkulačku pravouhlého trojuholníka.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.

 

 

Další podobné příklady a úkoly:

  1. Na číselné
    axes_3m Na číselné ose jsou vyznačené obrazy tří čísel: 0, m, 3m-1. Vyznačené dílky jsou stejně dlouhé. a) vyjádřete poměr m:(3m-1) b) na číselne ose vyznačte a popište obraz čísla 1.
  2. Paušál 2013 SR
    istoty_komunisti Od roku 2013 plánuje slovenská vláda více zdanit živnostníky. Místo 40% paušálních výdajů budou paušálně výdaje 40% hrubého příjmu maximálně však 420 Eur. Vypočítejte kolik procent budou tvořit paušálně výdaje v roce 2013 z hrubého příjmu 2236 Eur.
  3. Volební matematika
    statny-znak-sr_1 Ve volbách získalo 14 politických stran takové podíly hlasů voličů: party A 49.8 %party B 11.4 %party C 7.9 %party D 6.3 %party E 6.1 %party F 5.7 %party G 4.6 %party H 2.9 %party I 2.2 %party J 1.3 %party K 1 %party L 0.7 %party M 0.1 % Vypočítejte jak
  4. Brouci 2
    morusa Brouci pěstovaní na listech ze 40 moruší mohou dát ročně 40 kg zámotků. Z tohoto množství se vyrobí 100 m hedvábí. Kolik hedvábí lze vyrobit ze zámotků vypěstovaných na listí z 200 moruší?
  5. Babkine hodiny
    kukuckove-hodiny Babkine hodiny se každou hodinu zpožďují o půl minuty. Babka jejich o 8.00 hod. nastaví přesně. Kolik budou hodiny ukazovat o 24 hod.?
  6. Dělníci
    forestry_workers V lese je zaměstnáno 45 dělníků sázením stromků. Při 7 hodinové práci denně by skončili práci za 43 dní. Po 18 dnech odejde 22 dělníků; za jaký čas dokončí sázení stromků ostatní, když od toho dne budou pracovat 11 hodin denně?
  7. Prémie
    moeny Hrubá mzda zaměstnance byla 14712 Kč včetně 22% prémie. Kolik Kč byly prémie?
  8. Porucha TV
    old_tv Televizor má za 10000 hodín v průměru 25 poruch. Určete pravděpodobnost poruchy televizoru za 200 hodin provozu.
  9. Pračka
    pracka Buben automatické pračky má při praní 54 otáček za minutu. Řemenice elektromotoru pračky má průměr 5 cm. Jaký průměr musí mít řemenice bubnu pračky, pokud elektromotor má 301 otáček za minutu?
  10. Krev
    krv V lidském těle je přibližně 7.8% hmotnosti těla krev. Kolik kilogramů krve je v těle člověka s hmotností 115 kg?
  11. Cyklista
    1cyclist Cyklista přejde do kopce 10 km za 45 minut az kopce za 21 minut, přičemž v obou případech působí na pedály stejně velkou silou. Za kolik projde 10 km po rovině?
  12. Inženýr Kažimír
    demagog_smer_1 Rozdíl mezi politikem-demagogom a racionální uvažujícím člověkem alespoň se základním vzděláním krásné ilustruje příklad z TV diskuse. 'Inženýr' Kažimír tvrdí že během jejich úřadování došlo k velkému poklesu ceny zemního plynu, pokud cena se změnila z
  13. 5 česáčů
    permutations_3 5 česáčů sklidí 12 řádků jahod za 4 hodiny. Kolik řádků jahod sklidí 2 česáči za 10 hodin?
  14. Svačina 2
    minca_1 Za svačinu pro 30 žáků bylo zaplaceno 450Kč. Kolik korun zaplatíme za stejnou svačinu pro 28 žáků?
  15. Trio poměr
    minca Honza, Alena a Tomáš mají dohromady 740 Kč. Honza a Alena se dělí v poměru 5:6 a Alena a Tomáš v poměru 4:5. Kolik dostane každý?
  16. Vymalovat školu
    time 10 malířů vymalovat školu za 20 dní. Za kolik dní vymaluje při stejném tempu práce školu 4 malíři?
  17. Sbírka známek
    stamp_11 Jano, Rado a Fero vytvořily společnou sbírku známek v poměru 5: 6: 9. Dva z nich měli spolu 429 známek. Kolik známek měla jejich společná sbírka?