MO Z9 2019 domace kolo

V trojúhelníku ABC leží bod P ve třetině úsečky AB blíže bodu A, bod R je ve třetině úsečky P B blíže bodu P a bod Q leží na úsečce BC tak, že úhly P CB a RQB jsou shodné.

Určete poměr obsahů trojúhelníků ABC a PQC.

Výsledek

p =  9:2

Řešení:

AB=a AP=13a PR=13 23a=29a RB=(11329)a=49a  S(ABC)=a h2  S(APC)=AP h2=13 a h2=13 S(ABC) S(PCB)=S(ABC)S(APC)=23 S(ABC)  PCB......RQB  h2=23 h S(PQB)=PB h22=23 a 23 h2=49 S(ABC)  S(PQC)=S(ABC)S(APC)S(PQB)=S(ABC)(11349) S(PQC)=k S(ABC)  k=11349=290.2222 p=S(ABC):S(PQC) p=1/k=1/0.2222=92=4.5=9:2|AB| = a \ \\ |AP| = \dfrac{ 1 }{ 3 } a \ \\ |PR| = \dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \ \dfrac{ 2 }{ 3 } a = \dfrac{ 2 }{ 9 } a \ \\ |RB| = (1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } - \dfrac{ 2 }{ 9 } ) a = \dfrac{ 4 }{ 9 } a \ \\ \ \\ S(ABC) = \dfrac{ a \cdot \ h }{ 2 } \ \\ \ \\ S(APC) = \dfrac{ |AP| \cdot \ h }{ 2 } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \ a \cdot \ h }{ 2 } = \dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \ S(ABC) \ \\ S(PCB) = S(ABC) - S(APC) = \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ S(ABC) \ \\ \ \\ PCB ... ... RQB \ \\ \ \\ h_{ 2 } = \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ h \ \\ S(PQB) = \dfrac{ |PB| \cdot \ h_{ 2 } }{ 2 } = \dfrac{ \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ a \cdot \ \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ h }{ 2 } = \dfrac{ 4 }{ 9 } \cdot \ S(ABC) \ \\ \ \\ S(PQC) = S(ABC) - S(APC) - S(PQB) = S(ABC)( 1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } - \dfrac{ 4 }{ 9 } ) \ \\ S(PQC) = k \cdot \ S(ABC) \ \\ \ \\ k = 1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } - \dfrac{ 4 }{ 9 } = \dfrac{ 2 }{ 9 } \doteq 0.2222 \ \\ p = S(ABC) : S(PQC) \ \\ p = 1/k = 1/0.2222 = \dfrac{ 9 }{ 2 } = 4.5 = 9:2



Naše příklady z velké míry nám poslali nebo vytvořili samotní žáci a studenti. Proto budeme velmi rádi, pokud případně chyby které jste našli, pravopisné chyby nebo přeformulování příkladu nám prosím pošlete. Děkujeme!





Napište nám komentář ke příkladu (úlohe) a jeho řešení (například pokud je stále něco nejasné nebo máte jiné řešení, nebo příklad nevíte vypočítat, nebo-li řešení je nesprávné...):

Zobrazuji 6 komentářů:
#
E
Proč je h2 2/3 h1?

4 měsíce  4 Likes
#
Domeček
Ano, proč je h1 3/2 h2?

4 měsíce  1 Like
#
Bbb
Jak jste udelali z 9/2 9:1?

#
Zak
no prosime k veci... kde v priklade vidite 9:1 ???

#
Žák
proc je h2 2/3 h1

3 měsíce  2 Likes
#
Žák
Trojúhelníky PBC a RBQ jsou si podobné, protože mají stejné vnitřní úhly. Pak platí, že poměr příslušných stran (popř. výšek) musí být stejný. |PB|/h = |RB|/h1.

2 měsíce  1 Like
avatar









Tipy na související online kalkulačky
Vyzkoušejte naši kalkulačka na přepočet poměru.
Vyzkoušejte také naši kalkulačku pravouhlého trojuholníka.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.

Další podobné příklady a úkoly:

  1. Sestrojený čtverce
    pataVysky Na dvěma stranami trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce. Obsah čtverce nad stranou BC je 25 cm2. Velikost výšky vc na stranu AB je 3 cm. Pata P výšky vc dělí stranu AB v poměru 2 : 1. Strana AC je delší než strana BC. Vypočtěte v cm délku strany AB. V
  2. V rovnostranném
    srafovana V rovnostranném trojúhelníku o straně 2cm jsou zakresleny oblouky tří kružnic se středy ve vrcholech trojúhelníku a poloměry 1cm. Vypočítej obsah vyšrafované části - útvaru ktorý tvorí rozdíl mezi plochou trojuholníka a kruhovými výsekmi.
  3. Záhadný obsah
    lichobeznik Je dán lichoběžník ABCD. Vypočítejte jeho obsah, pokud plocha trojúhelníku DBC je 27 cm2.
  4. Čtyrboký 20
    jehlan_4b_obdelnik Čtyrboký jehlan má obdélníkovou podstavu o rozměrech 24cm x 3,2dm a tělesovou výšku 0,4m. Vypočítej jeho objem a povrch.
  5. Rovnoramenný lichoběžník
    rrLichobeznik Rovnoramenný lichoběžník ABCD o základnách délky |AB| = 6 cm, |CD| = 4 cm je diagonálami protínajícími se v bodě S rozdělen na 4 trojúhelníky. Jakou část plochy daného lichoběžníka zaujímají trojúhelníky ABS a CDS?
  6. Osmiboký jehlan
    octagonl_pyramid2 Urči objem pravidelného osmibokého jehlanu, jehož výška v = 100 a úhel boční hrany s rovinou podstavy je α = 60°.
  7. Jehlan
    ihlan Urči povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, když je dán jeho objem V = 120 a úhel boční stěny s rovinou podstavy je α = 42° 30'.
  8. Šestiboký hranol
    hexa_prism Vypočtěte povrch pravidelného šestibokého hranolu, jehož podstavná hrana a = 12cm a boční hrana b = 3 dm.
  9. Parabolická
    ParabolicVolume Parabolická úseč má základnu a= 4 cm a výšku v= 6 cm. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací této úseče a) kolem své základny b) kolem své osy. Předem děkuji za řešení.
  10. Kolik 33
    squares2 Kolik obrazců o obsahu 9 cm2 můžeme nastříhat z papíru velikosti 36 dm2?
  11. Dva válce
    cylinders Obdélník o rozměrech 8 cm a 4 cm otočíme o 360º nejprve kolem delší strany, čímž vznikne první těleso. Potom obdélník podobně otočíme kolem kratší strany, čímž vznikne druhé těleso. Určete poměr povrchů prvního a druhého tělesa.
  12. Kříž 5
    5squares2 Útvar na obrázku je složen ze stejných čtverců a má obsah 45cm². Jaký je jeho obvod?
  13. Čtverec nebo obdélníky
    rectangles Rozhodni, které útvary mají větší obsah:   a) čtverec se stranou 8cm nebo   b) dva obdélníku se stranami 5cm a 15cm? Zapiš výsledek jako 1 nebo 2 (obdélníky)
  14. Proměnné
    murar Na stěně a metrů dlouhé a v metrů vysoké jsou dveře b centimetrů vysoké a d centimetrů široké. Urči prosím obecně obsah plochy této stěny.
  15. Objem kvádru
    cuboid Vypočítejte objem kvádru pokud stěny mají obsah 30cm², 35cm², 42cm²
  16. Školní dvůr
    square_rot Školní dvůr měl tvar čtverce o straně 11m. Dvůr byl zvětšen o 75 m2 a má opět tvar čtverce. O kolik metrů byla zvětšena každá strana dvora?
  17. Rana
    krizik Peter si přelepil ránu dvěma náplastmi ve tvaru obdélníku (jednu přes druhou tak, že vytvořili písmeno X). Plocha zalepená současně oběma náplně měla obsah 40cm2 a obvod 30cm. Jedna z náplastí byla široká 8cm. Jakou šířku měla druhá náplast?