MO Z9 2019 domace kolo

V trojúhelníku ABC leží bod P ve třetině úsečky AB blíže bodu A, bod R je ve třetině úsečky P B blíže bodu P a bod Q leží na úsečce BC tak, že úhly P CB a RQB jsou shodné.

Určete poměr obsahů trojúhelníků ABC a PQC.

Výsledek

p =  9:2

Řešení:

AB=a AP=13a PR=13 23a=29a RB=(11329)a=49a  S(ABC)=a h2  S(APC)=AP h2=13 a h2=13 S(ABC) S(PCB)=S(ABC)S(APC)=23 S(ABC)  PCB......RQB  h2=23 h S(PQB)=PB h22=23 a 23 h2=49 S(ABC)  S(PQC)=S(ABC)S(APC)S(PQB)=S(ABC)(11349) S(PQC)=k S(ABC)  k=11349=290.2222 p=S(ABC):S(PQC) p=1/k=1/0.2222=92=4.5=924.5=9:2|AB| = a \ \\ |AP| = \dfrac{ 1 }{ 3 } a \ \\ |PR| = \dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \ \dfrac{ 2 }{ 3 } a = \dfrac{ 2 }{ 9 } a \ \\ |RB| = (1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } - \dfrac{ 2 }{ 9 } ) a = \dfrac{ 4 }{ 9 } a \ \\ \ \\ S(ABC) = \dfrac{ a \cdot \ h }{ 2 } \ \\ \ \\ S(APC) = \dfrac{ |AP| \cdot \ h }{ 2 } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \ a \cdot \ h }{ 2 } = \dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \ S(ABC) \ \\ S(PCB) = S(ABC) - S(APC) = \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ S(ABC) \ \\ \ \\ PCB ... ... RQB \ \\ \ \\ h_{ 2 } = \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ h \ \\ S(PQB) = \dfrac{ |PB| \cdot \ h_{ 2 } }{ 2 } = \dfrac{ \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ a \cdot \ \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ h }{ 2 } = \dfrac{ 4 }{ 9 } \cdot \ S(ABC) \ \\ \ \\ S(PQC) = S(ABC) - S(APC) - S(PQB) = S(ABC)( 1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } - \dfrac{ 4 }{ 9 } ) \ \\ S(PQC) = k \cdot \ S(ABC) \ \\ \ \\ k = 1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } - \dfrac{ 4 }{ 9 } = \dfrac{ 2 }{ 9 } \doteq 0.2222 \ \\ p = S(ABC) : S(PQC) \ \\ p = 1/k = 1/0.2222 = \dfrac{ 9 }{ 2 } = 4.5 = \dfrac{ 9 }{ 2 } ≐ 4.5 = 9:2



Naše příklady z velké míry nám poslali nebo vytvořili samotní žáci a studenti. Proto budeme velmi rádi, pokud případně chyby které jste našli, pravopisné chyby nebo přeformulování příkladu nám prosím pošlete. Děkujeme!





Napište nám komentář ke příkladu (úlohe) a jeho řešení (například pokud je stále něco nejasné nebo máte jiné řešení, nebo příklad nevíte vypočítat, nebo-li řešení je nesprávné...):

Zobrazuji 6 komentářů:
#
E
Proč je h2 2/3 h1?

3 měsíce  4 Likes
#
Domeček
Ano, proč je h1 3/2 h2?

3 měsíce  1 Like
#
Bbb
Jak jste udelali z 9/2 9:1?

#
Zak
no prosime k veci... kde v priklade vidite 9:1 ???

#
Žák
proc je h2 2/3 h1

2 měsíce  2 Likes
#
Žák
Trojúhelníky PBC a RBQ jsou si podobné, protože mají stejné vnitřní úhly. Pak platí, že poměr příslušných stran (popř. výšek) musí být stejný. |PB|/h = |RB|/h1.

1 měsíc  1 Like
avatar









Vyzkoušejte také naši kalkulačku pravouhlého trojuholníka. Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.

Další podobné příklady a úkoly:

  1. Obsah PT
    right_triangle_sepia Určitě obsah pravoúhlého trojúhelníku, jehož přepona má délku 12 a jeden její úsek (který vytíná výška) má délku 2.
  2. Záhrada
    garden_1 Rozloha čtvercové zahrady tvoří 6/8 rozlohy zahrady tvaru trojúhelníku se stranami 136 m 85 m a 85 m. Kolik metrů pletiva potřebuji na oplocení čtvercové zahrady?
  3. Pravoúhlý Δ
    ruler Pravoúhlý trojúhelník ma délku odvěsny 12 cm a délku přepony 13 cm. Vypočítejte výšku trojúhelníku.
  4. Trojúhelník SUS
    triangle_iron Vypočítejte plochu a obvod trojúhelníku, pokud jeho dvě strany jsou dlouhé 88 dm a 88 dm a úhel nimi sevřený je 170°.
  5. Pravoúhlý trojúhelník Alef
    r_triangle obsah pravoúhlého trojúhelníku je 150 cm2 a jeho přepona má délku 25 cm. Jaké jsou délky jeho odvěsen?
  6. Obdélník
    diagonal V obdélníku se stranami 8 a 7 vyznačíme úhlopříčku. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolený bod uvnitř obdélníku je blíže k této úhlopříčce, jako k libovolné straně obdélníku?
  7. Lichoběžník MO
    right_trapezium Je dán pravouhlý lichoběžník ABCD s pravým uhlem u bodu B, |AC| = 12, |CD| = 8, uhlopříčky jsou na sebe kolmé. Vypočítejte obvod a obsah takéhoto lichobežníka.
  8. Čtyřboký jehlan
    jehlanctyrboky Jaký je povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, když je podstavná hrana a=16 a výška v=19?
  9. Čtverec
    square_1 Body A[-9,6] a B[-5,-3] jsou sousedními vrcholy čtverce ABCD. Vypočítejte obsah čtverce ABCD.
  10. Kosočtverec
    rhombus Vypočítejte obvod a obsah kosočtverce, jehož úhlopříčky jsou dlouhé 16 cm a 40 cm.
  11. Obsah pětiúhelníku
    5gon_2 Vypočítejte obsah pravidelného pětiúhelníku se stranou 12 cm.
  12. Širokoúhlý monitor
    lcd Byznys výpočetní techniky zasáhla vlna širokoúhlých monitorů a televizorů. Vypočítejte plochu LCD monitoru o úhlopříčce 14 palců při poměru stran 4:3 a pak s poměrem stran 16:9. Je koupě širokoúhlého monitoru s rovnakou uhlopriečkou výhodnější než koupě
  13. Terezka
    cube Krychle má obsah podstavy 289 mm2. Vypočítej její délku hrany, objem a povrh plášte.
  14. Mírka
    pool_1 Bazén na koupališti je dlouhý 110 m a široký 30 m. Na plánku města je znázorněn jako obdélník s obsahem 8.25 cm2. V jakém měřítku je plánek?
  15. Kruhy
    two_circles Obsahy dvou kruhů jsou v poměru 2:14. Větší kruh má průměr 14. Vypočítejte poloměr menšího kruhu.
  16. Válce
    cylinders Pláště dvou válců vznikly svinutím téhož obdélníku o rozměrech 12 mm a 19 mm. Který z válců má větší objem a o kolik?
  17. Kruhový výsek
    pizza Kruhový výsek má obvod 116.24 km a obsah 2150.42 km2. Vypočítej poloměr příslušné kružnice a velikost středového úhlu výseku.