MO Z9-I-6 2019

Kristýna zvolila jisté liché přirozené číslo dělitelné třemi. Jakub s Davidem pak zkoumali trojúhelníky, které mají obvod v milimetrech roven Kristýnou zvolenému číslu a jejichž strany mají délky v milimetrech vyjádřeny navzájem různými celými čísly.
Jakub našel takový trojúhelník, v němž nejdelší ze stran má největší možnou délku, a tuto hodnotu zapsal na tabuli. David našel takový trojúhelník, v němž nejkratší ze stran má největší možnou délku, a tuto hodnotu také zapsal na tabuli. Kristýna obě délky na tabuli správně sečetla a vyšlo jí 1 681 mm.
Určete, které číslo Kristýna zvolila.

Správná odpověď:

K =  2019

Postup správného řešení:

K = 3k, k  N   K = a+b+c a < b < c  3k = a+b+c  max = (K1)/2 min=1  K = j1+j2+j3 j1 < j2 < j3  j1 = 1  j1=2 j2 = (K3)/2 j3 = (K1)/2  1 + (K3)/2+(K1)/2 = K  K = d1+d2+d3 d1 < d2 < d3 d1 = K/31 d2 = K/3+0 d3 = K/3+1  d1+j3 = 1681 K/31 + (K1)/2 = 1681  3k/31+(3k1)/2=1681  3 k/31+(3 k1)/2=1681  15k=10095  k=1510095=673  k=673  K=3 k=3 673=2019  j1=2 mm j2=(K3)/2=(20193)/2=1008 mm j3=(K1)/2=(20191)/2=1009 mm o1=j1+j2+j3=2+1008+1009=2019 mm  d1=K/31=2019/31=672 mm d2=K/3=2019/3=673 mm d3=K/3+1=2019/3+1=674 mm o2=d1+d2+d3=672+673+674=2019 mm  o1=o2 = K  x1=d1+j3=672+1009=1681  K=2019



Našel jsi chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.



Zobrazuji 11 komentářů:
Žák
K=3k;k∈N

4 roky  3 Likes
Žák
PROC JE K=3k;k∈N ???????????????

4 roky  8 Likes
Matematik
je to napsane hned v prvni vete zadani ---  liché přirozené číslo dělitelné třemi.... cize cislo 3,6,9 a vylucit delitelne dvoma... spravneby asi malo byt 3+6k; tj . sude vyloucene .

Agáta Křenková
Dobrý den, mohli byste mi to prosím někdo vysvětlit?

Pokemon
Dobrý den, potřeboval bych objasnit jak jste přišel na vyjádření stran u obou trojůhelníků. Pořád se mi na to nedaří přijít

Nějaký Random člověk
K=3k znamená, že ten trojúhelník vytvořený z čísla té Kristýny má 3 strany a k∈N znamená, že každá strana toho trojúhelníku je přirozené číslo takže min. 1.

Pokemon
To chápu, ale jak se přišlo na to že např j2=(k-3)/2

Žák
Dobry den,vůbec nevím,jak se na to přilšlo,mohl byste mi to někdo vysvětlit prosím?Nechápu postup:(

4 roky  3 Likes
Matematik
obvod j1+j2+j3 = K; nejmensi mozna delka strany je j1=1 nebo j1=2
pre j1=1 nebude mit trojuhelnik celociselne delky zbylych stran (muzete zkusit)

pro j1=2 a obvodu K=2019 je j2 =  1008 a j3 = 1009. Kvuli trojuhelnikove nerovnosti faktu ze ruznostranni trojuhelnik j2<>j3...
to z toho ze j3=j2+1, ak je jedna strana nejemnsi mozna, pak zbyle musi byt nejvice dlouhe, tj. lisici je o 1.
2 + j2 + (j2+1) = K
2j2 = k-3
j2 = (k-3)/2

4 roky  1 Like
Pokemon
Děkuji mnohokrát

Lxll
Dobrý den, tuto ulohu vubec nechapu, mohl by to nekdo co nejjednoduseji vysvetlit prosim. Predem moc dekujii

4 roky  2 Likes




Tipy na související online kalkulačky
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?
Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?
Chcete zaokrouhlit číslo?
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.

 
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1

Související a podobné příklady: