Užasné číslo

Užasným číslem nazveme takové sudé číslo, jehož rozklad na součin prvočísel má právě tři ne nutně různé činitele a součet všech jeho dělitelů je roven dvojnásobku tohoto čísla. Najděte všechna užasná čísla.

Výsledek

n =  28

Řešení:

Textové řešení n =







Napište nám komentář ke příkladu a řešení (například pokud je stále něco nejasné ...):

6 komentářů (7 odpovědí celkově):
#1
Žák
jiné řešení to skutečně nemá ? Kdyžtak zdůvodnit :)

#2
Www
Nevime o dalsim reseni. Resp. s cislami pod 100000 urcite ne. Zajima nas to taky.

#3
Žák
a mohli by jste prosím zdůvodnit ?

#4
Petr
To zduvodneni nas zajima taky; ide najma o to ze "součet všech jeho dělitelů" zvycejne pro velke cisla n presahne hodnotu 2n. Vezmime prvocislo. To ma soucet delitelu n+1 (ma presne 2 delitele, n a 1). Cislo n ktere ma 3 delitele a,b,c, ma soucet delitelu minimalne n+1+a+b+c+ab+ac+bc > 2n :D Ale exaktne to zduvodnit nevim a cekame ze nekto moudrejsi nam to dopovi ako to je...

#5
Kvak
Nápověda. Kolik nejvíce dělitelů může mít číslo, které je součinem tří ne nutně různýchprvočísel?

Možné řešení. Protože úžasné číslo je sudé, alespoň jeden z jeho prvočíselných dělitelůje 2; zbylé dva prvočíselné dělitele označíme b a c. Úžasné číslo je tedy rovno součinu 2bc.Všichni dělitelé takového čísla jsou 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, přičemž některá z těchtočísel se mohou rovnat. Postupně probereme všechny možnosti podle počtu a typu různých prvočíselných dělitelů.

a) Předpokládejme, že všichni prvočíselní dělitelé jsou stejní, tedy b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 8 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, 4, 8. Součet všech dělitelů by byl 15, což není dvojnásobek čísla 8. Případ b = c = 2 tedy není možný.

b) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou rovni 2, tedy b = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 4c a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Součet všechdělitelů by byl 7 + 7c a podle zadání má platit7+7c = 8c.To platí právě tehdy, když c = 7; odpovídající úžasné číslo je 4c = 28.

c) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou stejní, ovšem oba různí od 2, tedyb = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2b2 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2,b, 2b, b2, 2b2. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3b2 a podle zadání má platit 3+3b + 3b2 = 4b2, 3(1 + b) = b2. Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b je prvočíslo, muselo by být b = 3. V takovém případě by však nalevo bylo 3 · 4 = 12, zatímco napravo 3x2 = 9. Případ b = c = 2 tedy není možný.

d) Předpokládejme, že prvočíselní dělitelé jsou navzájem různí, tedy 2 = b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2bc a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, b, c, 2b, 2c,bc, 2bc. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3c + 3bc a podle zadání má platit
   3+3b + 3c + 3bc = 4bc,3(1 + b + c) = bc.

Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b a c jsou prvočísla, muselo by být buď b = 3, nebo c = 3. Pro b = 3 by předchozí rovnost vypadala takto 3 · (4 + c)=3c, což ovšem neplatí pro žádné c. Diskuse pro c = 3je obdobná. Případ b = c = 2 tedy není možný.

Jediné úžasné číslo je 28.

#6
Dominikbnp
Vždyť ze zadání je zřejmé, že hledáme dokonalá čísla. A je dávno známa věta, v jakém tvaru musí být všechna (sudá) dokonalá čísla. Z toho to plyne hned.

#1
Zkus rozložit 6 na součin tří prvočísel

avatar









K vyřešení tohoto příkladu jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:

Další podobné příklady:

  1. Z9 – I – 6 2018 MO
    numbers2_49 Přirozené číslo N nazveme bombastické, pokud neobsahuje ve svém zápise žádnou nulu a pokud žádné menší přirozené číslo nemá stejný součin číslic jako číslo N. Karel se nejprve zajímal o bombastická prvočísla a tvrdil, že jich není mnoho. Vypište všechna
  2. Zo 6 na 3
    thales_1 Chceme dokázat sporem tvrzení: Pokud je přirozené číslo n rozdělitelné šesti, potom n je dělitelné třemi. Z jakého předpokladu budeme vycházet?
  3. Trojciferné
    primes Napište nejmenší trojciferné číslo, které pri dělení 5 a 7 dává zbytek 2.
  4. Neznámé číslo
    unknown Neznámé číslo je dělitelné právě třemi různými prvočísly. Když tato prvočísla srovnáme vzestupně, platí následující: • Rozdíl druhého a prvního prvočísla je polovinou rozdílu třetího a druhého prvočísla. • Součin rozdílu druhého a prvního prvočísla s rozd
  5. Družstva
    football_team Kolika způsoby lze rozdělit 16 hráčů na dvě 8-členné družstva?
  6. Zkoušení
    examination Ve třídě je 21 žáků. Kolika způsoby lze vybrat two na vyzkoušení?
  7. Cukrovinky
    cukrovinky Na trzích mají 5 sort bonbónů, jeden váží 31 gramů. Kolika různými způsoby může zákazník koupit 1.519 kg bonbónů.
  8. Kombinace
    circles Kolik různých kombinací 2-ciferného čísla dělitelného číslem 4 vznikne z číslic 3, 5 a 7?
  9. Delitelé
    divisors Součet všech dělitelů jistého lichého čísla je 2112. Určete, jaký je součet všech dělitelů dvojnásobku tohoto neznámého čísla.
  10. Čebyševov vzorec
    ChebyshevSpiral Na odhadnutí počtu prvočísel menších než x slouží tzv. Čebyševov vzorec: ? Odhadněte počet prvočísel menších než 30300537.
  11. Třída
    skola_24 V 7. Třídě je o 2 žáky více než v 8. Třídě. Kdyby se počet žáků 7. Třídy zvýšil o 7 a počet žáků 8. Třídy zvýšil o třetinu původního počtu, byl by v obou třídách stejný počet žáků. Kolik žáků je 7. A v 8. Třídě?
  12. Trigonometrie
    sinus Platí rovnost? ?
  13. Posloupnost 2
    seq2 Napište prvních 5 členů aritmetické posloupnosti a11=-14, d=-1
  14. Posloupnost
    seq_1 Zapište prvních 6 členů této posloupnosti: a1 = 5 a2 = 7 an+2 = an+1 +2 an
  15. Referenční úhel
    anglemeter Najděte referenční úhel následujících úhlů:
  16. Eliminační metoda
    rovnice_1 Řešte soustavu lineárních rovnic eliminační metodou: 5/2x + 3/5y= 4/15 1/2x + 2/5y= 2/15
  17. AP - lehký
    sigma_1 Urči prvních 9 členů posloupnosti, pokud a10 = -1, d = 4