Užasné číslo
Užasným číslem nazveme takové sudé číslo, jehož rozklad na součin prvočísel má právě tři ne nutně různé činitele a součet všech jeho dělitelů je roven dvojnásobku tohoto čísla. Najděte všechna užasná čísla.
Správná odpověď:
Zobrazuji 7 komentářů:
Petr
To zduvodneni nas zajima taky; ide najma o to ze "součet všech jeho dělitelů" zvycejne pro velke cisla n presahne hodnotu 2n. Vezmime prvocislo. To ma soucet delitelu n+1 (ma presne 2 delitele, n a 1). Cislo n ktere ma 3 delitele a,b,c, ma soucet delitelu minimalne n+1+a+b+c+ab+ac+bc > 2n :D Ale exaktne to zduvodnit nevim a cekame ze nekto moudrejsi nam to dopovi ako to je...
Kvak
Nápověda. Kolik nejvíce dělitelů může mít číslo, které je součinem tří ne nutně různýchprvočísel?
Možné řešení. Protože úžasné číslo je sudé, alespoň jeden z jeho prvočíselných dělitelůje 2; zbylé dva prvočíselné dělitele označíme b a c. Úžasné číslo je tedy rovno součinu 2bc.Všichni dělitelé takového čísla jsou 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, přičemž některá z těchtočísel se mohou rovnat. Postupně probereme všechny možnosti podle počtu a typu různých prvočíselných dělitelů.
a) Předpokládejme, že všichni prvočíselní dělitelé jsou stejní, tedy b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 8 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, 4, 8. Součet všech dělitelů by byl 15, což není dvojnásobek čísla 8. Případ b = c = 2 tedy není možný.
b) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou rovni 2, tedy b = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 4c a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Součet všechdělitelů by byl 7 + 7c a podle zadání má platit7+7c = 8c.To platí právě tehdy, když c = 7; odpovídající úžasné číslo je 4c = 28.
c) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou stejní, ovšem oba různí od 2, tedyb = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2b2 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2,b, 2b, b2, 2b2. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3b2 a podle zadání má platit 3+3b + 3b2 = 4b2, 3(1 + b) = b2. Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b je prvočíslo, muselo by být b = 3. V takovém případě by však nalevo bylo 3 · 4 = 12, zatímco napravo 3x2 = 9. Případ b = c = 2 tedy není možný.
d) Předpokládejme, že prvočíselní dělitelé jsou navzájem různí, tedy 2 = b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2bc a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, b, c, 2b, 2c,bc, 2bc. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3c + 3bc a podle zadání má platit
3+3b + 3c + 3bc = 4bc,3(1 + b + c) = bc.
Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b a c jsou prvočísla, muselo by být buď b = 3, nebo c = 3. Pro b = 3 by předchozí rovnost vypadala takto 3 · (4 + c)=3c, což ovšem neplatí pro žádné c. Diskuse pro c = 3je obdobná. Případ b = c = 2 tedy není možný.
Jediné úžasné číslo je 28.
Možné řešení. Protože úžasné číslo je sudé, alespoň jeden z jeho prvočíselných dělitelůje 2; zbylé dva prvočíselné dělitele označíme b a c. Úžasné číslo je tedy rovno součinu 2bc.Všichni dělitelé takového čísla jsou 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, přičemž některá z těchtočísel se mohou rovnat. Postupně probereme všechny možnosti podle počtu a typu různých prvočíselných dělitelů.
a) Předpokládejme, že všichni prvočíselní dělitelé jsou stejní, tedy b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 8 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, 4, 8. Součet všech dělitelů by byl 15, což není dvojnásobek čísla 8. Případ b = c = 2 tedy není možný.
b) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou rovni 2, tedy b = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 4c a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Součet všechdělitelů by byl 7 + 7c a podle zadání má platit7+7c = 8c.To platí právě tehdy, když c = 7; odpovídající úžasné číslo je 4c = 28.
c) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou stejní, ovšem oba různí od 2, tedyb = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2b2 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2,b, 2b, b2, 2b2. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3b2 a podle zadání má platit 3+3b + 3b2 = 4b2, 3(1 + b) = b2. Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b je prvočíslo, muselo by být b = 3. V takovém případě by však nalevo bylo 3 · 4 = 12, zatímco napravo 3x2 = 9. Případ b = c = 2 tedy není možný.
d) Předpokládejme, že prvočíselní dělitelé jsou navzájem různí, tedy 2 = b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2bc a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, b, c, 2b, 2c,bc, 2bc. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3c + 3bc a podle zadání má platit
3+3b + 3c + 3bc = 4bc,3(1 + b + c) = bc.
Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b a c jsou prvočísla, muselo by být buď b = 3, nebo c = 3. Pro b = 3 by předchozí rovnost vypadala takto 3 · (4 + c)=3c, což ovšem neplatí pro žádné c. Diskuse pro c = 3je obdobná. Případ b = c = 2 tedy není možný.
Jediné úžasné číslo je 28.
Dominikbnp
Vždyť ze zadání je zřejmé, že hledáme dokonalá čísla. A je dávno známa věta, v jakém tvaru musí být všechna (sudá) dokonalá čísla. Z toho to plyne hned.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- Myslím 20
Myslím si tři čísla, když je sečtou dostanu 16, když od součtu prvních dvou čísel odečtou třetí dostanu 10, když od součtu prvního a třetího čísla odečtou druhé dostanu 8. Která čísla si myslím? - Matěj 4
Matěj a Anton jsou staří dohromady 44 let. Matěj je dvakrát tak starý, jako byl Anton v době, když byl Matěj půlkrát tak starý, jako bude Anton, až bude Anton 3x starší, než byl Matěj, když byl Matěj 3x tak starý, jako Anton. - 9 z 10 čísel
Určete počet devítimístných čísel, ve kterých se každá z číslic 0 až 9 vyskytuje nejvíce jednou a v nichž se součty číslic na 1. až 3. místě, na 3. až 5. místě, na 5. až 7. místě a na 7. až 9. místě vždy rovnají 10. Najděte i nejmenší a největší z těchto - Z8 – I – 1 MO 2019
Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho úhlopříčka BD měla velikost 8 cm a vzdálenost vrcholu B od primky AD byla 5 cm. Určete všechny možnosti - MO Z9-I-6 2019
Kristýna zvolila jisté liché přirozené číslo dělitelné třemi. Jakub s Davidem pak zkoumali trojúhelníky, které mají obvod v milimetrech roven Kristýnou zvolenému číslu a jejichž strany mají délky v milimetrech vyjádřeny navzájem různými celými čísly. Jaku - MO C-I-3 2019
Určete všechny dvojice přirozených čísel A a B, pro které platí, že součet dvojnásobku nejmenšího společného násobku a trojnásobku největšího společného dělitele přirozených čísel A a B je roven jejich součinu. - MO B 2019 ukol 2
Přirozené číslo n má aspoň 73 dvojmístných dělitelů. Dokažte, že jedním z nich je číslo 60. Uveďte rovněž příklad čísla n, které má právě 73 dvojmístných dělitelů, včetně náležitého zdůvodnění. - C – I – 3 MO 2018
Nechť a, b, c jsou kladná reálná čísla, jejichž součet je 3, a každé z nich je nejvýše 2. Dokažte, že platí nerovnost: a2 + b2 + c2 + 3abc < 9 - C – I – 6 MO 2018
Najděte všechna trojmístná čísla n s třemi různými nenulovými číslicemi, která jsou dělitelná součtem všech tří dvojmístných čísel, jež dostaneme, když v původním čísle vyškrtneme vždy jednu číslici. - Trojúhelníku 7247
Na straně AB trojúhelníku ABC jsou dány body D a E tak, že |AD| = |DE| = |EB|. Body A a B jsou postupně středy úseček CF a CG. Přímka CD protíná přímku FB v bodě I a přímka CE protíná přímku AG v bodě J. Dokažte, že průsečík přímek AI a BJ leží na přímce - Z6-1-4 MO 2018
Pan Petřík má na zahradě 3 trpaslíky. Největší je Mašík, prostřední Jířa a nejmenší Faltýnek. Když postaví Faltýnka na Jířu jsou stejně vysocí jako Mašík. Když postaví Faltýnka na Mašíka měří o 34 cm více než Jířa. Když postaví na Mašíka Jířu, jsou o 72 c - Z9–I–1 2018 čísla
Najděte všechna kladná celá čísla x a y, pro která platí: 1/x + 1/y = 1/4 - Z9 – I – 2 MO 2018
V rovnostranném trojúhelníku ABC je K středem strany AB, bod L leží v třetině strany BC blíže bodu C a bod M leží v třetině strany AC blíže bodu A. Určete, jakou část obsahu trojúhelníku ABC zabírá trojúhelník KLM. - Cifra
Jaké je poslední číslo 2016-té mocniny čísla 2017? - C–I–4 MO 2017
Určete největší celé číslo n, při kterém lze čtvercovou tabulku n×n zaplnit přirozenými čísly od 1 do n² (n na druhou) tak, aby v každé její čtvercové části 3×3 byla zapsána aspoň jedna druhá mocnina celého čísla. - Z9-I-5 MO 2017 obdélník
Uvnitř obdélníku ABCD leží body E a F tak, že úsečky EA, ED, EF, FB, FC jsou navzájem shodné. Strana AB je dlouhá 22 cm a kružnice opsaná trojúhelníku AFD má poloměr 10cm. Určete délku strany BC. - Z9–I–3 - 2017 kafemlýnky2
Roboti Robert a Hubert skládají a rozebírají kafemlýnky. Přitom každý z nich kafemlýnek složí čtyřikrát rychleji, než jej sám rozebere. Když ráno přišli do dílny, několik kafemlýnků už tam bylo složeno. V 7:00 začal Hubert skládat a Robert rozebírat, přes