Mo - kružnice
Jirka sestrojil čtverec ABCD o straně 12 cm. Do tohoto čtverce narýsoval čtvrtkružnici k, která měla střed v bodě B a procházela bodem A, a půlkružnici l, která měla střed v polovině strany BC a procházela bodem B. Rád by ještě sestrojil kružnici, která by ležela uvnitř čtverce a dotýkala se čtvrtkružnice k, půlkružnice l i strany AB. Určete poloměr takové kružnice.
Správná odpověď:
Zobrazuji 3 komentáře:
Peter2
Nápověda. Přemýšlejte, jak byste pomocí poloměru hledané kružnice vyjádřili vzdálenost
jejího středu od úsečky AB, příp. BC.
Možné řešení. Během řešení se odkazujeme na obrázek, v němž O značí střed strany BC, S značí střed Jirkovy vytoužené kružnice h, K značí dotykový bod kružnic h a k, L značí dotykový bod kružnic h a l a M značí dotykový bod kružnice h a úsečky AB. Dále budeme odkazovat na pomocný bod E, který je patou kolmice z bodu S na stranu BC. Hledaný poloměr kružnice h v cm označíme r.
Vzdálenost bodu S od úsečky AB je rovna r = |SM| = |EB|. Vzdálenost bodu S od úsečky BC je rovna velikosti úsečky SE, která je odvěsnou jak v pravoúhlém trojúhelníku SEO, tak v trojúhelníku SEB. Všechny zbylé strany v obou trojúhelnících snadno vyjádříme pomocí r; odtud pomocí Pythagorovy věty budeme umět určit neznámou r.
Body S a O jsou středy kružnic h a l, které se dotýkají v bodě L. Tyto tři body leží na jedné přímce, vzdálenost SO je proto rovna.
|SO| = |SL| + |LO| = r + 6
Obdobně, vzdálenost SB je rovna
|SB| = |BK| − |KS| = 12 − r
neboť S a O jsou středy kružnic h a k a K je jejich dotykovým bodem. Vzdálenost OE je rovna:
|OE| = |OB| − |BE| = 6 − r
Odtud a z Pythagorovy věty v trojúhelnících SEO a SEB dostáváme:
|SE|² = |SO|² − |OE|² = |SB|² − |BE|²
(6 + r)² − (6 − r)² = (12 − r)² − r²
12r + 12r = 144 − 24r,
48r = 144,
r = 3.
Poloměr hledané kružnice je 3 cm
jejího středu od úsečky AB, příp. BC.
Možné řešení. Během řešení se odkazujeme na obrázek, v němž O značí střed strany BC, S značí střed Jirkovy vytoužené kružnice h, K značí dotykový bod kružnic h a k, L značí dotykový bod kružnic h a l a M značí dotykový bod kružnice h a úsečky AB. Dále budeme odkazovat na pomocný bod E, který je patou kolmice z bodu S na stranu BC. Hledaný poloměr kružnice h v cm označíme r.
Vzdálenost bodu S od úsečky AB je rovna r = |SM| = |EB|. Vzdálenost bodu S od úsečky BC je rovna velikosti úsečky SE, která je odvěsnou jak v pravoúhlém trojúhelníku SEO, tak v trojúhelníku SEB. Všechny zbylé strany v obou trojúhelnících snadno vyjádříme pomocí r; odtud pomocí Pythagorovy věty budeme umět určit neznámou r.
Body S a O jsou středy kružnic h a l, které se dotýkají v bodě L. Tyto tři body leží na jedné přímce, vzdálenost SO je proto rovna.
|SO| = |SL| + |LO| = r + 6
Obdobně, vzdálenost SB je rovna
|SB| = |BK| − |KS| = 12 − r
neboť S a O jsou středy kružnic h a k a K je jejich dotykovým bodem. Vzdálenost OE je rovna:
|OE| = |OB| − |BE| = 6 − r
Odtud a z Pythagorovy věty v trojúhelnících SEO a SEB dostáváme:
|SE|² = |SO|² − |OE|² = |SB|² − |BE|²
(6 + r)² − (6 − r)² = (12 − r)² − r²
12r + 12r = 144 − 24r,
48r = 144,
r = 3.
Poloměr hledané kružnice je 3 cm
8 let 5 Likes
Tipy na související online kalkulačky
Pythagorova věta je základ výpočtů kalkulačky pravouhlého trojuholníka.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- Nepozornosti MO 2023 Z9
Karel měl vynásobit dvě dvouciferná čísla. Z nepozornosti vyměnil pořadí číslic v jednom z činitelů a dostal součin, který byl o 4 248 menší než správný výsledek. Jaký je správný výsledek? Kolik mělo Karlovi správně vyjít? - Rozhodněte 82454
Adam měl papír, který byl natolik velký, že by se z něj dalo natrhat několik desítek tisíc kousků. Nejprve papír roztrhal na čtyři kousky. Každý z těchto kousků vzal a roztrhal buď na čtyři, nebo na deset kousků. Stejným způsobem pokračoval dál: každý nov - V loňském
V loňském roce bylo v našem skautském oddíle o 30 chlapců více než děvčat. Letos se počet dětí v oddíle zvětšil o 10% přičemž počet chlapců se zvětšil o 5% a počet děvčat se zvětšil o 20%. Kolik dětí máme letos v oddíle? - Myslím 20
Myslím si tři čísla, když je sečtou dostanu 16, když od součtu prvních dvou čísel odečtou třetí dostanu 10, když od součtu prvního a třetího čísla odečtou druhé dostanu 8. Která čísla si myslím?
- Čtyřúhelníku 81469
Dán je čtverec ABCD. Střed AB je E, střed BC je F, CD je G a střed DA je H. Spojíme AF, BG, CH a DE. Uvnitř čtverce (přibližně uprostřed) průsečíky těchto úseček vytvoří čtyřúhelník. Vypočítejte obsah tohoto čtyřúhelníku. Děkuji - MO z7 2022
Jsou také dva rovnostranné trojúhelníky ABC a BDE tak že velikost úhlu ABD je větší než 120° a menší než 180° bod C, E leží ve stejné polorovině vymezené přímkou AD. Průsečík CD a AE je označen F. Určete velikost úhlu AFD. - Mo z9 2022 čtverce
Vrcholy čtverce ABCD spojuje lomená čára DEFGHB. Menší úhly u vrcholů E, F, G, H jsou pravé a úsečky DE, EF, FG, GH, HB po řadě měří 6 cm, 4cm, 4 cm, 1 cm, 2 cm. Určete obsah čtverce ABCD. - MO Z7 2022 - Průměrný vek
Průměrný věk dědy, babičky a jejich pěti vnoučat je 26 let. Průměrný věk samotných vnoučat je 7 let. Babička je o rok mladší než děda. Kolik let je babičce? - MO Z9 2022
Najděte nejmenší kladná čísla a a b, pro které platí 7a³ = 11b⁵
- Z9-I-1 2022
Bolek a Lolek měli každý svou aritmetickou posloupnost. Jak Lolek, tak Bolek posloupnost začínala číslem 2023 a končila číslem 3023. Tyto dvě posloupnosti měly 26 společných čísel. Poměr Bolkovy a Lolkovy diference byl 5:2. Jaký rozdíl Bolkovy a Lolkovy d - Vodník
Vodník Kebule nakupoval v rybárně kapitána Nema, kde ceny všeho zboží byli uvedený v celých šupinách. Kdyby Kebule koupil 2 raky, 3 škeble, a 1 štiku, zaplatil by 49 šupin. Pokud by přikoupil ještě 5 řáku, 11 škeblí a 1 štiku, platil by celkem 154 šupin. - 9 z 10 čísel
Určete počet devítimístných čísel, ve kterých se každá z číslic 0 až 9 vyskytuje nejvíce jednou a v nichž se součty číslic na 1. až 3. místě, na 3. až 5. místě, na 5. až 7. místě a na 7. až 9. místě vždy rovnají 10. Najděte i nejmenší a největší z těchto - Přístavy MZ
Mezi přístavy Mumraj a Zmatek pendlují po stejné trase dvě lodě. V přístavech tráví zanedbatelný čas, hned se otáčí a pokračují v plavbě. Ráno ve stejný okamžik vyplouvá modrá loď z přístavu Mumraj a zelená loď z přístavu Zmatek. Poprvé se lodě míjejí 20 - Slávkine čísla
Slávka si napsala barevnými fixy čtyři různé přirozená čísla: červené, modré, zelené a žluté. Když červené číslo vydělí modrým, dostane jako neúplný podíl zelené číslo a žluté představuje zbytek po tomto dělení. Když vydělí modré číslo zeleným, vyjde její
- Veverky 2
Veverky objevily keř s lískovými oříšky. První veverka utrhla jeden oříšek, druhá veverka dva oříšky, třetí veverka tři oříšky. Každá další veverka utrhla vždy o jeden oříšek víc než předchozí veverka. Když otrhaly všechny oříšky z keře, rozdělily si oříš - Z8 – I – 1 MO 2019
Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho úhlopříčka BD měla velikost 8 cm a vzdálenost vrcholu B od primky AD byla 5 cm. Určete všechny možnosti - Z8–I–5 MO 2019
Pro osm navzájem různých bodů jako na obrázku platí, že body C, D, E leží na přímce rovnoběžné s přímkou AB, F je středem úsečky AD, G je středem úsečky AC a H je průsečíkem přímek AC a BE. Obsah trojúhelníku BCG je 12 cm² a obsah čtyřúhelníku DFHG je 8 c