Mo - kružnice
Jirka sestrojil čtverec ABCD o straně 12 cm. Do tohoto čtverce narýsoval čtvrtkružnici k, která měla střed v bodě B a procházela bodem A, a půlkružnici l, která měla střed v polovině strany BC a procházela bodem B. Rád by ještě sestrojil kružnici, která by ležela uvnitř čtverce a dotýkala se čtvrtkružnice k, půlkružnice l i strany AB. Určete poloměr takové kružnice.
Správná odpověď:
Zobrazuji 3 komentáře:
Peter2
Nápověda. Přemýšlejte, jak byste pomocí poloměru hledané kružnice vyjádřili vzdálenost
jejího středu od úsečky AB, příp. BC.
Možné řešení. Během řešení se odkazujeme na obrázek, v němž O značí střed strany BC, S značí střed Jirkovy vytoužené kružnice h, K značí dotykový bod kružnic h a k, L značí dotykový bod kružnic h a l a M značí dotykový bod kružnice h a úsečky AB. Dále budeme odkazovat na pomocný bod E, který je patou kolmice z bodu S na stranu BC. Hledaný poloměr kružnice h v cm označíme r.
Vzdálenost bodu S od úsečky AB je rovna r = |SM| = |EB|. Vzdálenost bodu S od úsečky BC je rovna velikosti úsečky SE, která je odvěsnou jak v pravoúhlém trojúhelníku SEO, tak v trojúhelníku SEB. Všechny zbylé strany v obou trojúhelnících snadno vyjádříme pomocí r; odtud pomocí Pythagorovy věty budeme umět určit neznámou r.
Body S a O jsou středy kružnic h a l, které se dotýkají v bodě L. Tyto tři body leží na jedné přímce, vzdálenost SO je proto rovna.
|SO| = |SL| + |LO| = r + 6
Obdobně, vzdálenost SB je rovna
|SB| = |BK| − |KS| = 12 − r
neboť S a O jsou středy kružnic h a k a K je jejich dotykovým bodem. Vzdálenost OE je rovna:
|OE| = |OB| − |BE| = 6 − r
Odtud a z Pythagorovy věty v trojúhelnících SEO a SEB dostáváme:
|SE|² = |SO|² − |OE|² = |SB|² − |BE|²
(6 + r)² − (6 − r)² = (12 − r)² − r²
12r + 12r = 144 − 24r,
48r = 144,
r = 3.
Poloměr hledané kružnice je 3 cm
jejího středu od úsečky AB, příp. BC.
Možné řešení. Během řešení se odkazujeme na obrázek, v němž O značí střed strany BC, S značí střed Jirkovy vytoužené kružnice h, K značí dotykový bod kružnic h a k, L značí dotykový bod kružnic h a l a M značí dotykový bod kružnice h a úsečky AB. Dále budeme odkazovat na pomocný bod E, který je patou kolmice z bodu S na stranu BC. Hledaný poloměr kružnice h v cm označíme r.
Vzdálenost bodu S od úsečky AB je rovna r = |SM| = |EB|. Vzdálenost bodu S od úsečky BC je rovna velikosti úsečky SE, která je odvěsnou jak v pravoúhlém trojúhelníku SEO, tak v trojúhelníku SEB. Všechny zbylé strany v obou trojúhelnících snadno vyjádříme pomocí r; odtud pomocí Pythagorovy věty budeme umět určit neznámou r.
Body S a O jsou středy kružnic h a l, které se dotýkají v bodě L. Tyto tři body leží na jedné přímce, vzdálenost SO je proto rovna.
|SO| = |SL| + |LO| = r + 6
Obdobně, vzdálenost SB je rovna
|SB| = |BK| − |KS| = 12 − r
neboť S a O jsou středy kružnic h a k a K je jejich dotykovým bodem. Vzdálenost OE je rovna:
|OE| = |OB| − |BE| = 6 − r
Odtud a z Pythagorovy věty v trojúhelnících SEO a SEB dostáváme:
|SE|² = |SO|² − |OE|² = |SB|² − |BE|²
(6 + r)² − (6 − r)² = (12 − r)² − r²
12r + 12r = 144 − 24r,
48r = 144,
r = 3.
Poloměr hledané kružnice je 3 cm
8 let 5 Likes
Tipy na související online kalkulačky
Pythagorova věta je základ výpočtů kalkulačky pravouhlého trojuholníka.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- Myslím 20
Myslím si tři čísla, když je sečtou dostanu 16, když od součtu prvních dvou čísel odečtou třetí dostanu 10, když od součtu prvního a třetího čísla odečtou druhé dostanu 8. Která čísla si myslím? - Matěj 4
Matěj a Anton jsou staří dohromady 44 let. Matěj je dvakrát tak starý, jako byl Anton v době, když byl Matěj půlkrát tak starý, jako bude Anton, až bude Anton 3x starší, než byl Matěj, když byl Matěj 3x tak starý, jako Anton. - 9 z 10 čísel
Určete počet devítimístných čísel, ve kterých se každá z číslic 0 až 9 vyskytuje nejvíce jednou a v nichž se součty číslic na 1. až 3. místě, na 3. až 5. místě, na 5. až 7. místě a na 7. až 9. místě vždy rovnají 10. Najděte i nejmenší a největší z těchto - Z8 – I – 1 MO 2019
Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho úhlopříčka BD měla velikost 8 cm a vzdálenost vrcholu B od primky AD byla 5 cm. Určete všechny možnosti - MO Z9-I-6 2019
Kristýna zvolila jisté liché přirozené číslo dělitelné třemi. Jakub s Davidem pak zkoumali trojúhelníky, které mají obvod v milimetrech roven Kristýnou zvolenému číslu a jejichž strany mají délky v milimetrech vyjádřeny navzájem různými celými čísly. Jaku - MO C-I-3 2019
Určete všechny dvojice přirozených čísel A a B, pro které platí, že součet dvojnásobku nejmenšího společného násobku a trojnásobku největšího společného dělitele přirozených čísel A a B je roven jejich součinu. - MO B 2019 ukol 2
Přirozené číslo n má aspoň 73 dvojmístných dělitelů. Dokažte, že jedním z nich je číslo 60. Uveďte rovněž příklad čísla n, které má právě 73 dvojmístných dělitelů, včetně náležitého zdůvodnění. - C – I – 3 MO 2018
Nechť a, b, c jsou kladná reálná čísla, jejichž součet je 3, a každé z nich je nejvýše 2. Dokažte, že platí nerovnost: a2 + b2 + c2 + 3abc < 9 - C – I – 6 MO 2018
Najděte všechna trojmístná čísla n s třemi různými nenulovými číslicemi, která jsou dělitelná součtem všech tří dvojmístných čísel, jež dostaneme, když v původním čísle vyškrtneme vždy jednu číslici. - Trojúhelníku 7247
Na straně AB trojúhelníku ABC jsou dány body D a E tak, že |AD| = |DE| = |EB|. Body A a B jsou postupně středy úseček CF a CG. Přímka CD protíná přímku FB v bodě I a přímka CE protíná přímku AG v bodě J. Dokažte, že průsečík přímek AI a BJ leží na přímce - Z6-1-4 MO 2018
Pan Petřík má na zahradě 3 trpaslíky. Největší je Mašík, prostřední Jířa a nejmenší Faltýnek. Když postaví Faltýnka na Jířu jsou stejně vysocí jako Mašík. Když postaví Faltýnka na Mašíka měří o 34 cm více než Jířa. Když postaví na Mašíka Jířu, jsou o 72 c - Z9–I–1 2018 čísla
Najděte všechna kladná celá čísla x a y, pro která platí: 1/x + 1/y = 1/4 - Z9 – I – 2 MO 2018
V rovnostranném trojúhelníku ABC je K středem strany AB, bod L leží v třetině strany BC blíže bodu C a bod M leží v třetině strany AC blíže bodu A. Určete, jakou část obsahu trojúhelníku ABC zabírá trojúhelník KLM. - Cifra
Jaké je poslední číslo 2016-té mocniny čísla 2017? - C–I–4 MO 2017
Určete největší celé číslo n, při kterém lze čtvercovou tabulku n×n zaplnit přirozenými čísly od 1 do n² (n na druhou) tak, aby v každé její čtvercové části 3×3 byla zapsána aspoň jedna druhá mocnina celého čísla. - Z9-I-5 MO 2017 obdélník
Uvnitř obdélníku ABCD leží body E a F tak, že úsečky EA, ED, EF, FB, FC jsou navzájem shodné. Strana AB je dlouhá 22 cm a kružnice opsaná trojúhelníku AFD má poloměr 10cm. Určete délku strany BC. - Z9–I–3 - 2017 kafemlýnky2
Roboti Robert a Hubert skládají a rozebírají kafemlýnky. Přitom každý z nich kafemlýnek složí čtyřikrát rychleji, než jej sám rozebere. Když ráno přišli do dílny, několik kafemlýnků už tam bylo složeno. V 7:00 začal Hubert skládat a Robert rozebírat, přes