Mo - kružnice
Jirka sestrojil čtverec ABCD o straně 12 cm. Do tohoto čtverce narýsoval čtvrtkružnici k, která měla střed v bodě B a procházela bodem A, a půlkružnici l, která měla střed v polovině strany BC a procházela bodem B. Rád by ještě sestrojil kružnici, která by ležela uvnitř čtverce a dotýkala se čtvrtkružnice k, půlkružnice l i strany AB. Určete poloměr takové kružnice.
Správná odpověď:
Zobrazuji 3 komentáře:
Peter2
Nápověda. Přemýšlejte, jak byste pomocí poloměru hledané kružnice vyjádřili vzdálenost
jejího středu od úsečky AB, příp. BC.
Možné řešení. Během řešení se odkazujeme na obrázek, v němž O značí střed strany BC, S značí střed Jirkovy vytoužené kružnice h, K značí dotykový bod kružnic h a k, L značí dotykový bod kružnic h a l a M značí dotykový bod kružnice h a úsečky AB. Dále budeme odkazovat na pomocný bod E, který je patou kolmice z bodu S na stranu BC. Hledaný poloměr kružnice h v cm označíme r.
Vzdálenost bodu S od úsečky AB je rovna r = |SM| = |EB|. Vzdálenost bodu S od úsečky BC je rovna velikosti úsečky SE, která je odvěsnou jak v pravoúhlém trojúhelníku SEO, tak v trojúhelníku SEB. Všechny zbylé strany v obou trojúhelnících snadno vyjádříme pomocí r; odtud pomocí Pythagorovy věty budeme umět určit neznámou r.
Body S a O jsou středy kružnic h a l, které se dotýkají v bodě L. Tyto tři body leží na jedné přímce, vzdálenost SO je proto rovna.
|SO| = |SL| + |LO| = r + 6
Obdobně, vzdálenost SB je rovna
|SB| = |BK| − |KS| = 12 − r
neboť S a O jsou středy kružnic h a k a K je jejich dotykovým bodem. Vzdálenost OE je rovna:
|OE| = |OB| − |BE| = 6 − r
Odtud a z Pythagorovy věty v trojúhelnících SEO a SEB dostáváme:
|SE|² = |SO|² − |OE|² = |SB|² − |BE|²
(6 + r)² − (6 − r)² = (12 − r)² − r²
12r + 12r = 144 − 24r,
48r = 144,
r = 3.
Poloměr hledané kružnice je 3 cm
jejího středu od úsečky AB, příp. BC.
Možné řešení. Během řešení se odkazujeme na obrázek, v němž O značí střed strany BC, S značí střed Jirkovy vytoužené kružnice h, K značí dotykový bod kružnic h a k, L značí dotykový bod kružnic h a l a M značí dotykový bod kružnice h a úsečky AB. Dále budeme odkazovat na pomocný bod E, který je patou kolmice z bodu S na stranu BC. Hledaný poloměr kružnice h v cm označíme r.
Vzdálenost bodu S od úsečky AB je rovna r = |SM| = |EB|. Vzdálenost bodu S od úsečky BC je rovna velikosti úsečky SE, která je odvěsnou jak v pravoúhlém trojúhelníku SEO, tak v trojúhelníku SEB. Všechny zbylé strany v obou trojúhelnících snadno vyjádříme pomocí r; odtud pomocí Pythagorovy věty budeme umět určit neznámou r.
Body S a O jsou středy kružnic h a l, které se dotýkají v bodě L. Tyto tři body leží na jedné přímce, vzdálenost SO je proto rovna.
|SO| = |SL| + |LO| = r + 6
Obdobně, vzdálenost SB je rovna
|SB| = |BK| − |KS| = 12 − r
neboť S a O jsou středy kružnic h a k a K je jejich dotykovým bodem. Vzdálenost OE je rovna:
|OE| = |OB| − |BE| = 6 − r
Odtud a z Pythagorovy věty v trojúhelnících SEO a SEB dostáváme:
|SE|² = |SO|² − |OE|² = |SB|² − |BE|²
(6 + r)² − (6 − r)² = (12 − r)² − r²
12r + 12r = 144 − 24r,
48r = 144,
r = 3.
Poloměr hledané kružnice je 3 cm
8 let 5 Likes
Tipy na související online kalkulačky
Pythagorova věta je základ výpočtů kalkulačky pravouhlého trojuholníka.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- Z8 – I – 1 MO 2019
Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho úhlopříčka BD měla velikost 8 cm a vzdálenost vrcholu B od primky AD byla 5 cm. Určete všechny možnosti - Z7-1-6 MO 2018
Je dán rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ABS se základnou AB. Na kružnici, která má střed v bodě S a prochází body A a B, leží bod C tak, že trojúhelník ABC je rovnoramenný. Určete, kolik bodů C vyhovuje uvedeným podmínkám, a všechny takové body sestrojt - Z9 – I – 5 MO 2018
Adam a Eva vytvářeli dekorace z navzájem shodných bílých kruhů. Adam použil čtyři kruhy, které sestavil tak, že se každý dotýkal dvou jiných kruhů. Mezi ně pak vložil jiný kruh, který se dotýkal všech čtyř bílých kruhů, a ten vybarvil červeně. Eva použila - Z7–I–4 2018 MO Betka
Karel si hrál s ozubenými koly, která byla sestavena do soukolí. Když zatočil jedním kolem, točila se všechna ostatní. První kolo mělo 32 a druhé 24 zubů. Když se třetí kolo otočilo (je uprostřed soukolí) přesně osmkrát, druhé kolo udělalo pět otáček a čá - Z9-I-5 MO 2017 obdélník
Uvnitř obdélníku ABCD leží body E a F tak, že úsečky EA, ED, EF, FB, FC jsou navzájem shodné. Strana AB je dlouhá 22 cm a kružnice opsaná trojúhelníku AFD má poloměr 10cm. Určete délku strany BC. - Množina bodů Z7–I–5.
Je dán trojúhelník ABC se stranami /AB/=3 cm, /BC/= 10 cm a úhlem ABC = 120°. Narýsujte všechny body X tak, aby platilo, že trojúhelník BCX je rovnoramenný a současně trojúhelník ABX je rovnoramenný se základnou AB. - Z9–I–6
Je dána úsečka AB délky 12 cm, na níž je jednou stranou položen čtverec MRAK se stranou délky 2 cm, viz obrázek. MRAK se postupně překlápí po úsečce AB, přičemž bod R zanechává na papíře stopu. Narýsujte celou stopu bodu R, dokud čtverec neobejde úsečku A - Z9–I–3
Julince se zakutálel míček do bazénu a plaval ve vodě. Jeho nejvyšší bod byl 2 cm nad hladinou. Průměr kružnice, kterou vyznačila hladina vody na povrchu míčku, byl 8 cm. Určete průměr Julinčina míčku. - Úhlopříčkou 3
Úhlopříčkou řezu DBFH pravidelného čtyřbokého hranolu ABCDEFGH je vepsán kruh o průměru 8 cm. Jaký je objem hranolu. - Pilíř 3
Kolik betonu je třeba na vylití 8 betonových sloupů s podstavou čtverce: a = 38cm, výška sloupů je 6,2m? V každém sloupu je dutina válce o průměru 15cm. - Zatáčka 3
Zatáčka má poloměr r = 100 m a je sklopena pod úhlem 20° vůči vodorovné rovině (= úhel klopení). Jaká je bezpečná (ta "nejlepší")rychlost při průjezdu touto zatáčkou? Načrtni obrázek z hlediska NIVS, vyznač síly a vypočítej. - Katka 7
Katka si objednala dort ve tvaru valce o objemu 15,7l. Skládá se ze dvou pater. Objem horního patra je 4x menší než objem dolního patra. Výška obou pater stejna a je rovná polomeru horního patra dortu. Katka rozkrojila dort kolmo k podložce na 2 stejně čá - Zadní
Zadní kolo traktoru mají průměr 1,6 m, přední kolo 96 cm. V jakém poměru jsou počty jejich otáček? Kolikrát se na dráze dlouhé 1 942 m otočí přední kolo a kolikrát zadní kolo? - Lom
Kolo těžní věže má průměr 150 cm. o kolik m sestoupí klec výtahu, jestliže se kolo otočí stejným směrem sedmdesatkrát. - Z6–I–5 MO 2024
Péťa složil z navzájem shodných trojúhelníků několik rovinných útvarů. Obvody prvních tří jsou postupně 8 cm, 11,4 cm a 14,7 cm. Určete obvod čtvrtého útvaru - Poměr 51
Poměr vzdálenosti nejbližšího a nejvzdálenějšího bodu kružnice, která je popsána rovnicí x2+y2-16x-12y+75=0 od počátku soustavy souřadnic je? - Pravoúhlý 37
Pravoúhlý trojúhelník má obsah 36 cm². V něm je umístěn čtverec tak, že dvě strany čtverce jsou částmi dvou stran trojúhelníku a jeden vrchol čtverce je ve třetině nejdelší strany. Určete obsah tohoto čtverce.