Pětiúhelník
Uvnitř pravidelného pětiúhelníku ABCDE je bod P takový, že trojúhelník ABP je rovnostranný. Jak velký je úhel BCP?
Udělej si náčrtek
Udělej si náčrtek
Správná odpověď:
Zobrazuji 5 komentářů:
Žák
trojuhelnik abp jr rovnostranny dle zadani,proto strana ab=bp=pa.u petiuhelniku ab=bc=bp. trojuhelnik bcp je rovnoramenny,,bc=bp. vsechny uhly petiuhelniku =360 st. uhel abc=360;5=72st. rovnostranny trojuhelnik ma wsoucet180st.pokud uhel abc=72st.,uhelpbc=72-60=12st. Trojuhelnik pbc je rovnoramenny pb=bc. Uhel bcp a cpb=180-12=168st. Uhel bcp=168;2=84st
Mo - Oficiální
Nápověda. Uvědomte si, že trojúhelník BCP není obecný.
Možné řešení. Pětiúhelník ABCDE je pravidelný, zejména platí |AB| = |BC|. Trojúhelník ABP je rovnostranný, zejména platí |AB| = |BP|. Odtud vidíme, že |BP| = |BC|, tedy, že trojúhelník BCP je rovnoramenný. Jeho vnitřní úhly u vrcholů P a C jsou proto shodné; k jejich určení stačí znát úhel u vrcholu B (součet velikostí vnitřních úhlů v libovolném trojúhelníku je 180◦). Přitom úhel P BC je rozdílem úhlů ABC a ABP, z nichž první je vnitřním úhlem pravidelného pětiúhelníku (vyjádříme záhy) a druhý je vnitřním úhlem rovnostranného trojúhelníku (má velikost α = 60◦).
Pětiúhelník ABCDE můžeme rozdělit na pět trojúhelníků se společným vrcholem P. Součet vnitřních úhlů pětiúhelníku je roven součtu vnitřních úhlů všech pěti trojúhelníků vyjma úhlů u vrcholu P, tj. 5·180◦−360◦ = 540◦. V pravidelném pětiúhelníku jsou všechny vnitřní úhly shodné, každý má tudíž velikost 540◦: 5 = 108◦.
Odtud konečně umíme vyjádřit β = |?P BC| = |?ABC| − |?ABP| = 108◦ − 60◦ = 48◦
a následně γ = |?BCP| = |?BPC| = (180◦ − 48◦)/2 = 66◦.
Velikost úhlu BCP je 66◦.
Poznámka. Velikost vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku je možné odvodit také pomocí rozdělení na pět shodných rovnoramenných trojúhelníků jako na následujícím obrázku (S je střed pětiúhelníku, tj. střed jemu opsané kružnice).
Úhel u vrcholu S v každém z těchto trojúhelníků má velikost 360 : 5 = 72◦; součet úhlů u základny je roven 180◦−72◦ = 108◦ , což je také velikost vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku.
Možné řešení. Pětiúhelník ABCDE je pravidelný, zejména platí |AB| = |BC|. Trojúhelník ABP je rovnostranný, zejména platí |AB| = |BP|. Odtud vidíme, že |BP| = |BC|, tedy, že trojúhelník BCP je rovnoramenný. Jeho vnitřní úhly u vrcholů P a C jsou proto shodné; k jejich určení stačí znát úhel u vrcholu B (součet velikostí vnitřních úhlů v libovolném trojúhelníku je 180◦). Přitom úhel P BC je rozdílem úhlů ABC a ABP, z nichž první je vnitřním úhlem pravidelného pětiúhelníku (vyjádříme záhy) a druhý je vnitřním úhlem rovnostranného trojúhelníku (má velikost α = 60◦).
Pětiúhelník ABCDE můžeme rozdělit na pět trojúhelníků se společným vrcholem P. Součet vnitřních úhlů pětiúhelníku je roven součtu vnitřních úhlů všech pěti trojúhelníků vyjma úhlů u vrcholu P, tj. 5·180◦−360◦ = 540◦. V pravidelném pětiúhelníku jsou všechny vnitřní úhly shodné, každý má tudíž velikost 540◦: 5 = 108◦.
Odtud konečně umíme vyjádřit β = |?P BC| = |?ABC| − |?ABP| = 108◦ − 60◦ = 48◦
a následně γ = |?BCP| = |?BPC| = (180◦ − 48◦)/2 = 66◦.
Velikost úhlu BCP je 66◦.
Poznámka. Velikost vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku je možné odvodit také pomocí rozdělení na pět shodných rovnoramenných trojúhelníků jako na následujícím obrázku (S je střed pětiúhelníku, tj. střed jemu opsané kružnice).
Úhel u vrcholu S v každém z těchto trojúhelníků má velikost 360 : 5 = 72◦; součet úhlů u základny je roven 180◦−72◦ = 108◦ , což je také velikost vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku.
8 let 1 Like
Tipy na související online kalkulačky
Vypočet rovnostranného trojúhelníku.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Jednotky fyzikálních veličin:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1
Související a podobné příklady:
- Trojúhelníku 83261
Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, ve kterém znáte stranu c=5 cm, úhel při vrcholu A= 70 stupňů a poměr úseků, které vytíná výška na stranu c je 1:3 - Rovnoramenném 83247
Vypočítejte délky stran v rovnoramenném trojúhelníku, je-li dána výška (na základnu) Vc= 8,8cm a úhel u základny alfa= 38°40`. - V trojúhelníku 9
V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu beta dvojnásobkem velikosti úhlu alfa a velikosti úhlu gama je o 20 stupňů menší než velikost úhlu beta. Urči velikost všech vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku. - Užitím 2
Užitím kosinové věty dokažte, že v rovnoramenném trojúhelníku ABC se základnou AB platí, že c=2a cos α. - V trojúhelníku 8
V trojúhelníku ABC znáte poměr délek stran a:b:c=3:4:6. Vypočítejte velikosti úhlů trojúhelníku ABC. - Zatáčka 3
Zatáčka má poloměr r = 100 m a je sklopena pod úhlem 20° vůči vodorovné rovině (= úhel klopení). Jaká je bezpečná (ta "nejlepší")rychlost při průjezdu touto zatáčkou? Načrtni obrázek z hlediska NIVS, vyznač síly a vypočítej. - Vzducholoď
Vzducholoď je ve výšce x nad zemí. Pavel ji sleduje z místa A pod výškovým úhlem 18 stupnu 26 minut. V tutéž chvíli ji vidí Petr z malého letadla, které zrovna prolétá nad Pavlem ve výšce 150m. Petr vidí vzducholoď pod výškovým úhlem 11 stupnu a 46 minut. - Z rozhledně
Z rozhledně vysoké 40 m je vidět vrchol topolu pod hloubkovym uhlem o velikosti 50*10´a patu topolu v hloubkovem úhlu o velikosti 58*. Vypocitejte výšku topolu. - Dopravní 2
Dopravní letadlo, které právě prolétá nad místem 2 400 m vzdáleném od místa pozorovatele, je vidět pod výškovým úhlem o velikosti 26° 20´. V jaké výšce letadlo letí? - Vypočítejte 82693
Vypočítejte výšku stožáru, jehož patu vidíme v hloubkovém úhlu 11° a vrchol ve výškovém úhlu 28°. Stožár je pozorován z místa 10 m nad úrovní paty stožáru. - Tramvajová úloha
Jaký je maximální úhel pod kterým může jet tramvaj z kopce dolů, aby stále byla schopna zastavit. Součinitel smykového tření je f =0,15. - Minutová 9
Minutová ručička opíše za půl hodiny úhel 180 stupňů. Za kolik minut opíše minutová ručička úhel o velikosti 192 stupňů? - Vypočítej 400
Vypočítej vnitřní úhly trojúhelníku. Úhel alfa je o 16° větší než beta a úhel gama je o 17° menší než alfa. - Určete 48
Určete rozdíl úhlových rychlostí hodinových ručiček. [rad/s] ω hodinových ručiček =? ω minutových ručiček =? ω sekundových ručiček =? - Kruhová 4
Kruhová úseč má obsah 6,04 cm², středový úhel omega je 15 stupňů, jaký je poloměr? - Těžnice 10
Je dána úsečka AA1 délky 6 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA1 těžnicí, délka strany BC je 5 cm a velikost úhlu gama je 60°. - Tyč je
Tyč je svisle zabodnuta do země. Vyčnívající délka je 1m. Jaká je délka vrženého stínu, když je slunce právě 50° nad horizontem?