Astronómia

Přednedávnem dvě kosmické lodě úspěšně přistály na dvou malých planetách, označených α a β. Obě lodě byly vybaveny citlivými senzory, které měřily základní parametry planetek. Senzory zjistily, že na planetě α trvá den šestkrát déle než na planetě β a dále zjistily, že poloměr planety α je oproti poloměru planety β čtyřnásobný.

Po chvilce měření se ale oba senzory porouchaly, a to kvůli přílišné odstředivé síle, která na ně působila. Zjistěte, na který ze senzorů působila větší odstředivá síla, víte-li, že senzor měřící na planetě α vážil mα=9 kg, zatímco senzor na druhé planetě měl hmotnost mβ=1 kg. Pro odstředivou sílu na povrchu libovolné planety platí vztah

Fo=mv²/r ,

kde m je hmotnost uvažovaného senzoru, v je obvodová rychlost planety daná její rotací a r je poloměr dané planety.

Výsledek

α

β

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} \alpha :T=6d,R=4r,m=9kg \\ \beta :T=d,R=r,m=1kg \\ F=m{v}^2/R=m(2\pi R/T{)}^2/R=4{\pi }^{2}mR/T^2 \\ F(\alpha )=4{\pi }^2\cdot 9\cdot 4r/(6d{)}^2 \\ F(\beta )=4{\pi }^2\cdot 1\cdot r/d^2 \\ F(\alpha )/F(\beta )=(9\cdot 4/6^2)/1=36/36=1 \\ F(\alpha )=F(\beta ) \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad