Číselna osa

V kocourkovské škole používají zvláštní číselnou osu. Vzdálenost mezi čísly 1 a 2 je 1 cm, vzdálenost mezi čísly 2 a 3 je 3 cm, mezi čísly 3 a 4 je 5 cm, a tak dále, vzdálenost mezi následující dvojicí přirozenými čísly se vždy zvètší o 2 cm. Mezi kterými dvěma přirozenými čísly je na kocourkovské číselné ose vzdálenost 39cm?
Najdi všechny možnosti. Kolik ich je?

Výsledek

n =  2

Řešení:

Textové řešení n =







Napište nám komentář ke příkladu a řešení (například pokud je stále něco nejasné ...):

4 komentáře:
#1
Žák
Jakto

3 roky  3 Likes
#2
Mo-radca
Nápověda. Vypište si vzdálenosti mezi různými dvojicemi čísel na kocourkovské ose.

Možné řešení.

Vzdálenost 39 cm může být realizována mezi různými dvojicemi čísel. Budeme systematicky vypisovat vzdálenosti mezi několika prvními čísly kocourkovské osy. V následujícím schématu je nad čarou vypsáno prvních 10 čísel a pod čarou skutečné vzdálenosti (v cm) mezi různými dvojicemi těchto čísel — na prvním řádku pod čarou jsou postupně vzdálenosti mezi sousedními čísly, na druhém řádku pod čarou jsou vzdálenosti mezi dvojicemi čísel, které jsou ob jedno, atd. (Např. 21 na třetím řádku pod čarou značí skutečnou vzdálenost mezi čísly 3 a 6 na kocourkovské ose a je určeno jako 5 + 7 + 9). Hvězdičkou jsou označena zbytečně velká čísla, která nás nezajímají.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 ∗ ∗
16 24 32 40 ∗ ∗ ∗ ∗
25 35 45 ∗ ∗ ∗ ∗
36 48 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
49 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Ihned vidíme (z třetího řádku pod čarou), že vzdálenost 39 cm je mezi čísly 6 a 9 a že se jistě neobjevuje mezi čísly, která jsou na kocourkovské ose víc než ob dvě (od čtvrtého řádku pod čarou). Vzdálenost 39 cm se určitě také nemůže objevovat mezi čísly, která jsou ob jedno, protože všechny tyto vzdálenosti jsou sudé (druhý řádek pod čarou). Zbývá tedy prozkoumat vzdálenosti mezi sousedními čísly (první řádek pod čarou):

Posloupnost vzdáleností mezi sousedními čísly můžeme vyjádřit jako

1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4, . . .

Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 1)-ním číslem na kocourkovské ose je rovna

1 + 2(i − 1) = 2i − 1 (cm).

Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 20. Vzdálenost 39 cm na kocourkovské číselné ose je mezi dvojicemi čísel 6, 9 a 20, 21.

Poznámky.

a) Závěrečnou úvahu lze nahradit vypsáním a spočítáním všech lichých čísel až po 39. Pokud je výčet úplný, je takové řešení správné.

b) Naopak úvodní vypisování lze celé nahradit úvahou, příp. výpočtem: Všechny vzdálenosti v tabulce jsou součtem různých počtů lichých čísel, přičemž tyto počty jsou buď liché (pro sousední čísla a dvojice čísel, která jsou ob sudý počet čísel), nebo sudé (pro dvojice čísel, která jsou ob lichý počet čísel). Na jednotlivých řádcích se tedy objevují buď jenom lichá, nebo jenom sudá čísla. Vzdálenost 39 cm se tedy může objevovat pouze mezi sousedními čísly a dvojicemi, která jsou na kocourkovské ose ob sudý počet čísel.

Předchozí vypisování posloupnosti vzdáleností mezi sousedními čísly má následující analogii pro dvojice čísel, která jsou ob dvě:

9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3, . . .

Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 3)-tím číslem na kocourkovské ose je rovna 9 + 6(i − 1) = 6i + 3 (cm).

Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 6. Obdobně lze vyjádřit jakoukoli jinou výše vypisovanou posloupnost.

c) Řešení úlohy lze zjednodušit pomocí následujícího poznatku: Součet lichého počtu po sobě jdoucích lichých čísel je roven součinu počtu těchto čísel a prostředního z nich. Zvídavým řešitelům doporučujeme tento poznatek zdůvodnit a řešení domyslet.

d) V uvedeném schématu si můžeme všimnout, že všechna čísla v prvním šikmém sloupci jsou druhými mocninami přirozených čísel. To není náhoda — obecně platí, že součet prvních k po sobě jdoucích lichých čísel je roven k2. Zvídavým řešitelům doporučujeme porovnat toto tvrzení s poznatkem v předchozí poznámce.

3 roky  2 Likes
#3
Žák
Děkuji , na 20-21 jsem přišel ale na to druhé ne děkuji

#4
Žák
Jej :D Může mi to někdo napsat prosím srozumitelněji?

3 roky  2 Likes
avatar









K vyřešení tohoto příkladu jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:

Další podobné příklady:

  1. Z7–I–6, výstava koček
    stoly Na výstavě dlouhosrstých koček se sešlo celkem deset vystavujících. Vystavovalo se v obdélníkové místnosti, ve které byly dvě řady stolů jako na obrázku. Kočky byly označeny navzájem různými čísly v rozmezí 1 až 10 a na každém stole seděla jedna kočka. Ur
  2. Mirek a Zuzka
    mo_1 Obdélník je rozdělený na 7 políček. Na každé políčko se má napsat právě jedno z čísel 1, 2 a 3. Mirek tvrdí, že to lze provést tak, aby součet dvou vedle sebe napsaných čísel byl pokaždé jiný. Zuzka naopak tvrdí, že to možné není. Rozhodněte, kdo z nich
  3. Neznámé číslo 17
    eq222_5 kdybich součet čísel 70 a neznameho čísla zmenšil třkrát, dostal bych 100 . jaké je neznáme číslo?
  4. Až bude
    age_7 Až bude Bedřichovy tolik let co je Adamovy dnes, bude mít Adam 14 let. Kdyz bude Adamovy tolik let kolik ma Bedřich dnes byli Bedřichovy dva roky. Kolik let je dnes Adamovy a Bedřichovy
  5. Zlevňovaní
    up_to_30 Zboží stojí 65 €, cena zboží klesla 2 týdny po sobě vždy o 10%. O kolik% klesla celkově?
  6. Archeologové
    flags Archeologové zjistili, že vlajka bájného matematického království byla rozdělena na šest polí, tak jako na obrázku. Ve skutečnosti byla vlajka tříbarevná a každé pole bylo vybarveno jednou barvou. Vědci už vybádali, že na vlajce byla použita červená, bílá
  7. Jablká 2
    jablko Jakub má 13 jablek. Má o 30 procent více než Sam. Kolik jablek má Sam?
  8. Ženy
    family_9 Kolik je ze 40 žen spokojených 38, kolik je to procent?
  9. Rovnice
    circle_eq Reš rovnici: 12-(12-5x)=3x+(x-4)
  10. Rovnice
    rovnice_3 Řešte rovnici: 1 / 2x-2 / 8x = 1/10; Výsledek zapište jako desetinné číslo.
  11. Procentá - lehké
    percents_5 Kolik % je 432 z 434?
  12. Nerovnice
    inequalities Řešte nerovnici: 5k - (7k - 1)≤ 2/5 . (5-k)-2
  13. Závorky
    casino_1 Doplň do výrazu 1 + 2x3 - 4x5 : 6 a/jeden pár závorek, tak aby výsledek byl co největší b/jeden pár závorek, tak aby výsledek byl co nejmenší
  14. Pekárna
    rozky_1 Pekárna zvišila cenu rohlíku z 1,90kc na 2,50kc . O kolik procent pekárna zdražila?
  15. Myška
    mouses myška hryzka má 27 krychliček, které k sobě poskládala do velké krychle. Potom na každé straně vyhryzala prostřední krychličku a ještě krychličku uprostřed. Myška má 4 děti. potom podélně krychly rozřeše. Kolik krychlí a jaký tvar dostanou 4 myšky?
  16. Konference
    conference 148 je celkový počet zaměstnanců. Na konferencí se zúčastnilo 22 zaměstnanců. Kolik je to procent?
  17. Procentá
    rukavice Mám krabici s dvěstě kusy rukavic celkem, rozděleno do deseti balíků po dvaceti kusech, prodám tři balíky kolik procent z celkového množství jsem prodala?