Číselna osa
V kocourkovské škole používají zvláštní číselnou osu. Vzdálenost mezi čísly 1 a 2 je 1 cm, vzdálenost mezi čísly 2 a 3 je 3 cm, mezi čísly 3 a 4 je 5 cm, a tak dále, vzdálenost mezi následující dvojicí přirozenými čísly se vždy zvètší o 2 cm. Mezi kterými dvěma přirozenými čísly je na kocourkovské číselné ose vzdálenost 39cm?
Najdi všechny možnosti. Kolik ich je?
Najdi všechny možnosti. Kolik ich je?
Správná odpověď:
Zobrazuji 4 komentáře:
Mo-radca
Nápověda. Vypište si vzdálenosti mezi různými dvojicemi čísel na kocourkovské ose.
Možné řešení.
Vzdálenost 39 cm může být realizována mezi různými dvojicemi čísel. Budeme systematicky vypisovat vzdálenosti mezi několika prvními čísly kocourkovské osy. V následujícím schématu je nad čarou vypsáno prvních 10 čísel a pod čarou skutečné vzdálenosti (v cm) mezi různými dvojicemi těchto čísel — na prvním řádku pod čarou jsou postupně vzdálenosti mezi sousedními čísly, na druhém řádku pod čarou jsou vzdálenosti mezi dvojicemi čísel, které jsou ob jedno, atd. (Např. 21 na třetím řádku pod čarou značí skutečnou vzdálenost mezi čísly 3 a 6 na kocourkovské ose a je určeno jako 5 + 7 + 9). Hvězdičkou jsou označena zbytečně velká čísla, která nás nezajímají.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 ∗ ∗
16 24 32 40 ∗ ∗ ∗ ∗
25 35 45 ∗ ∗ ∗ ∗
36 48 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
49 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Ihned vidíme (z třetího řádku pod čarou), že vzdálenost 39 cm je mezi čísly 6 a 9 a že se jistě neobjevuje mezi čísly, která jsou na kocourkovské ose víc než ob dvě (od čtvrtého řádku pod čarou). Vzdálenost 39 cm se určitě také nemůže objevovat mezi čísly, která jsou ob jedno, protože všechny tyto vzdálenosti jsou sudé (druhý řádek pod čarou). Zbývá tedy prozkoumat vzdálenosti mezi sousedními čísly (první řádek pod čarou):
Posloupnost vzdáleností mezi sousedními čísly můžeme vyjádřit jako
1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4, . . .
Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 1)-ním číslem na kocourkovské ose je rovna
1 + 2(i − 1) = 2i − 1 (cm).
Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 20. Vzdálenost 39 cm na kocourkovské číselné ose je mezi dvojicemi čísel 6, 9 a 20, 21.
Poznámky.
a) Závěrečnou úvahu lze nahradit vypsáním a spočítáním všech lichých čísel až po 39. Pokud je výčet úplný, je takové řešení správné.
b) Naopak úvodní vypisování lze celé nahradit úvahou, příp. výpočtem: Všechny vzdálenosti v tabulce jsou součtem různých počtů lichých čísel, přičemž tyto počty jsou buď liché (pro sousední čísla a dvojice čísel, která jsou ob sudý počet čísel), nebo sudé (pro dvojice čísel, která jsou ob lichý počet čísel). Na jednotlivých řádcích se tedy objevují buď jenom lichá, nebo jenom sudá čísla. Vzdálenost 39 cm se tedy může objevovat pouze mezi sousedními čísly a dvojicemi, která jsou na kocourkovské ose ob sudý počet čísel.
Předchozí vypisování posloupnosti vzdáleností mezi sousedními čísly má následující analogii pro dvojice čísel, která jsou ob dvě:
9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3, . . .
Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 3)-tím číslem na kocourkovské ose je rovna 9 + 6(i − 1) = 6i + 3 (cm).
Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 6. Obdobně lze vyjádřit jakoukoli jinou výše vypisovanou posloupnost.
c) Řešení úlohy lze zjednodušit pomocí následujícího poznatku: Součet lichého počtu po sobě jdoucích lichých čísel je roven součinu počtu těchto čísel a prostředního z nich. Zvídavým řešitelům doporučujeme tento poznatek zdůvodnit a řešení domyslet.
d) V uvedeném schématu si můžeme všimnout, že všechna čísla v prvním šikmém sloupci jsou druhými mocninami přirozených čísel. To není náhoda — obecně platí, že součet prvních k po sobě jdoucích lichých čísel je roven k2. Zvídavým řešitelům doporučujeme porovnat toto tvrzení s poznatkem v předchozí poznámce.
Možné řešení.
Vzdálenost 39 cm může být realizována mezi různými dvojicemi čísel. Budeme systematicky vypisovat vzdálenosti mezi několika prvními čísly kocourkovské osy. V následujícím schématu je nad čarou vypsáno prvních 10 čísel a pod čarou skutečné vzdálenosti (v cm) mezi různými dvojicemi těchto čísel — na prvním řádku pod čarou jsou postupně vzdálenosti mezi sousedními čísly, na druhém řádku pod čarou jsou vzdálenosti mezi dvojicemi čísel, které jsou ob jedno, atd. (Např. 21 na třetím řádku pod čarou značí skutečnou vzdálenost mezi čísly 3 a 6 na kocourkovské ose a je určeno jako 5 + 7 + 9). Hvězdičkou jsou označena zbytečně velká čísla, která nás nezajímají.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 ∗ ∗
16 24 32 40 ∗ ∗ ∗ ∗
25 35 45 ∗ ∗ ∗ ∗
36 48 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
49 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Ihned vidíme (z třetího řádku pod čarou), že vzdálenost 39 cm je mezi čísly 6 a 9 a že se jistě neobjevuje mezi čísly, která jsou na kocourkovské ose víc než ob dvě (od čtvrtého řádku pod čarou). Vzdálenost 39 cm se určitě také nemůže objevovat mezi čísly, která jsou ob jedno, protože všechny tyto vzdálenosti jsou sudé (druhý řádek pod čarou). Zbývá tedy prozkoumat vzdálenosti mezi sousedními čísly (první řádek pod čarou):
Posloupnost vzdáleností mezi sousedními čísly můžeme vyjádřit jako
1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4, . . .
Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 1)-ním číslem na kocourkovské ose je rovna
1 + 2(i − 1) = 2i − 1 (cm).
Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 20. Vzdálenost 39 cm na kocourkovské číselné ose je mezi dvojicemi čísel 6, 9 a 20, 21.
Poznámky.
a) Závěrečnou úvahu lze nahradit vypsáním a spočítáním všech lichých čísel až po 39. Pokud je výčet úplný, je takové řešení správné.
b) Naopak úvodní vypisování lze celé nahradit úvahou, příp. výpočtem: Všechny vzdálenosti v tabulce jsou součtem různých počtů lichých čísel, přičemž tyto počty jsou buď liché (pro sousední čísla a dvojice čísel, která jsou ob sudý počet čísel), nebo sudé (pro dvojice čísel, která jsou ob lichý počet čísel). Na jednotlivých řádcích se tedy objevují buď jenom lichá, nebo jenom sudá čísla. Vzdálenost 39 cm se tedy může objevovat pouze mezi sousedními čísly a dvojicemi, která jsou na kocourkovské ose ob sudý počet čísel.
Předchozí vypisování posloupnosti vzdáleností mezi sousedními čísly má následující analogii pro dvojice čísel, která jsou ob dvě:
9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3, . . .
Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 3)-tím číslem na kocourkovské ose je rovna 9 + 6(i − 1) = 6i + 3 (cm).
Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 6. Obdobně lze vyjádřit jakoukoli jinou výše vypisovanou posloupnost.
c) Řešení úlohy lze zjednodušit pomocí následujícího poznatku: Součet lichého počtu po sobě jdoucích lichých čísel je roven součinu počtu těchto čísel a prostředního z nich. Zvídavým řešitelům doporučujeme tento poznatek zdůvodnit a řešení domyslet.
d) V uvedeném schématu si můžeme všimnout, že všechna čísla v prvním šikmém sloupci jsou druhými mocninami přirozených čísel. To není náhoda — obecně platí, že součet prvních k po sobě jdoucích lichých čísel je roven k2. Zvídavým řešitelům doporučujeme porovnat toto tvrzení s poznatkem v předchozí poznámce.
8 let 3 Likes
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Související a podobné příklady:
- Z6–I–5 MO 2024
Péťa složil z navzájem shodných trojúhelníků několik rovinných útvarů. Obvody prvních tří jsou postupně 8 cm, 11,4 cm a 14,7 cm. Určete obvod čtvrtého útvaru - Pravoúhlý 37
Pravoúhlý trojúhelník má obsah 36 cm². V něm je umístěn čtverec tak, že dvě strany čtverce jsou částmi dvou stran trojúhelníku a jeden vrchol čtverce je ve třetině nejdelší strany. Určete obsah tohoto čtverce. - Čtyřúhulník AFHD
Trojúhelník ABC je rozdělen úsečkami. Úsečky DE a AB jsou rovnoběžné. Trojúhelníky CDH, CHI, CIE, FIH mají stejný obsah a to 8 dm². Zjistěte obsah čtyřúhelníku AFHD. - Z6-I-3 2022
Magda si vystřihla dva stejné rovnoramenné trojúhelníky, z nichž každý měl obvod 100 cm. Nejprve z těchto trojúhelníků složila čtyřúhelník tak, že je k sobě přiložila rameny. Poté z nich složila čtyřúhelník tak, že je k sobě přiložila základnami. V prvním - Z7–I–5 MO 2022
Na obrázku jsou znázorněny čtverce ABCD, EFCA, CHCE a IJHE. Body S, B, F a G jsou po řadě středy těchto čtverců. Úsečka AC je dlouhá 1 cm. Určete obsah trojúhelníku IJS. Prosím pomozte... - MO Z7 2022
Eva si myslela dvě přirozená čísla. Tyto nejprve správně sečetla, poté správně odečetla. V obou případech dostala dvouciferný výsledek. Součin takto vzniklých dvouciferných čísel byl 645. Která čísla si Eva myslela? Prosím vás, jaký je tento výsledek? - Polovina 80757
Na louce bylo 45 ovcí a několik pastýřů. Poté, co z louky odešla polovina pastevců a třetina ovcí, měli zbylí pastevci a ovce celkem 126 nohou. Všechny ovce a všichni pastevci měli obvykle počty nohou. kolik pastýřů bylo původně na louce? - MO Z7 2022 - Průměrný vek
Průměrný věk dědy, babičky a jejich pěti vnoučat je 26 let. Průměrný věk samotných vnoučat je 7 let. Babička je o rok mladší než děda. Kolik let je babičce? - Z6–I–4 MO 2021/22
Kuba si zapsal čtyřmístné číslo, jehož 2 číslice byly sudé a dvě liché. Pokud by v tomto čísle vyškrtl obě sudé číslice, dostal by číslo čtyřikrát menší, než kdyby v tomtéž čísle vyškrtl obě liché číslice. Které největší číslo s těmito vlastnostmi si mohl - Dvouciferných 64294
Kolik je přirozených dvouciferných čísel, které můžeme utvořit z číslic 0, 1, 2, 3, pokud se v těchto číslech nemohou číslice opakovat? - Můj jediný
Můj jediný syn se narodil když mi bylo 37 let. to bylo právě 32 let po smrti dědečka a ten zemřel ve svých 64 letech. Dedecek byl o 12 let starší než babička, brali se v roce 1947 právě když babičce bylo 18 let. V kterém roce se narodil můj syn? - DĚTI MO Z6 2021
Součin věků všech dětí pana Násobka je 1408. Věk nejmladšího dítěte je roven polovině věku nejstaršího dítěte. Kolik dětí má pan Násobek a kolik je jim let? - MO Z7-II-1 2020
Na pohádkovém ostrově žijí draci a kyklopové. Všichni draci jsou červení, tříhlaví a dvounozí. Všichni kyklopové jsou hnědí, jednohlaví a dvounozí. Kyklopové mají jedno oko uprostřed čela, draci mají na každé hlavě dvě oči. Dohromady mají kyklopové a drac - MO Z7–I–6 2021
V trojúhelníku ABC leží na straně AC bod D a na straně BC bod E. Velikosti úhlů ABD, BAE, CAE a CBD jsou postupně 30°, 60°, 20° a 30°. určete velikost úhlu AED. - Ovce 3
Kuba se domluvil s bačou, že se mu bude starat o ovce. Bača Kubovi slíbil, že po roce služby dostane dvacet zlatých a k tomu jednu ovci. Jenže Kuba dal výpověď, právě když uplynul sedmý měsíc služby. I tak ho Bača spravedlivě odměnil a zaplatil mu pět zla - Určete dvojice
Určete všechny dvojice (m, n) přirozených čísel, pro něž platí m + s(n) = n + s(m) = 70, kde s(a) značí ciferný součet přirozeného čísla a. - Na festivalu
Na festivalu tančili 4 taneční soubory. Žádný neměl méně než 10 a více než 20 členů. V každém tanci byli zastoupeni všichni tanečníci z některých dvou souborů. Nejprve bylo na pódiu 31 účastníků, pak 32, 34, 35, 37 a 38. Kolik tanečníků měly jednotlivé so