Bonbóny MO Z6-I-5 2017
V plechovce byly červené a zelené bonbóny. Čeněk snědl 2/5 všech červených bonbónů a Zuzka snědla 3/5 všech zelených bonbónů. Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbónů v plechovce.
Kolik nejméně bonbónů mohlo být původně v plechovce?
Kolik nejméně bonbónů mohlo být původně v plechovce?
Správná odpověď:
Zobrazuji 21 komentářů:
Dr Math
Tomas pise - Tak za prvé:
Zadání není jednoznačné. (komentar hackmath - zadani MO sorry nad tim zadanim sedeli jine kapacity nez my laici:)
A za druhé:
Výsledek 35 je špatně. Správně je 40.
---------------------------------------------
Správné řešení:
Ad 1:
Třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbónù v plechovce" je neúplná, protože vede ke dvěma možným závěrùm. Buď myšleno jako "ze všech bonbónù, které nyní v plechovce zbyly (po odebrání)" nebo "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
Obě možnosti jsou spočítatelné, ale vedou k rozdílnému výsledku. Pokud se dobře pamatuji na správné zadání, myšleno je "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
S touto premisou ad 2:
Výsledek 35 je špatně už jen proto, že není beze zbytku dělitelný 8. Připomeňme si větu: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly". Tento předpoklad splňují pouze čísla 8, 16, 24, 32.
Počet červených bonbónù --> x (číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Počet zelených bonbónù --> y (opět číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Máme rovnici:
z = x + y
kde "z" je nějaké nejmenší celé číslo (počet všech bonbónù pùvodně v plechovce), na které máme dojít, ale zároveň víme, že je dělitelné 8 beze zbytku.
(Vsuvka: už zde je patrné, že řešením mùže být jedině číslo z řady 40, 80, 120, 160. Pokud jsou čísla "x" a "y" dělitelná beze zbytku 5 a zároveň jejich součet je beze zbytku dělitelný 8, tak jejich součet musí být dělitelný jak 5, tak 8 beze zbytku. A tomu odpovídají pouze čísla z uvedené řady.)
Dále máme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
která nám vyjadřuje větu "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
3/5 x --> znamená počet červených bonbónù zbylých v plechovce po odebrání 2/5 červených bonbónù.
3/8 (x + y) --> znamená 3/8 všech bonbónù v plechovce, které tam pùvodně byly.
řešme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 x = 3/8 x + 3/8 y
24 x = 15 x + 15 y
9 x = 15 y
3 x = 5 y
=======
(x = 5/3 y)
Víme, že "x" a "y" je dělitelné 5 beze zbytku, takže to mohou být pouze čísla 5, 10, 15. tím z předchozí rovnice odvodíme:
Pokud je y = 5 --> pak x = 8,3333. (špatně)
Pokud je y = 10 --> pak x = 16,6666. (špatně)
Pokud je y = 15 --> pak x = 25 (sedí) --> obě čísla jsou dělitelná 5 beze zbytku.
Takže počet červených bonbónù je:
x = 25
a počet zelených bonbónù je:
y = 15
--------------------------------------
Zkouška:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 * 25 = 3/8 (25+15)
3/5 * 25 = 3/8 *40
3 * (25/5) = 3 * (40/8)
3 * 5 = 3 * 5
15 = 15
======
A to je správně.
Takže námi hledané číslo je:
z = x + y
z = 25 + 15
z = 40
=====
A je zároveň nejmenší možné, protože pokud bude "y" 5 nebo 10 (což jsou, jak jsme si ukázali, jediné možné menší alternativy) tak "x" bude necelé číslo, a navíc nebude dělitelné 5. (Nebo jinak: 40 je nejmenší možná alternativa z možné řady výsledkù 40, 80, 120.)
Zadání není jednoznačné. (komentar hackmath - zadani MO sorry nad tim zadanim sedeli jine kapacity nez my laici:)
A za druhé:
Výsledek 35 je špatně. Správně je 40.
---------------------------------------------
Správné řešení:
Ad 1:
Třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbónù v plechovce" je neúplná, protože vede ke dvěma možným závěrùm. Buď myšleno jako "ze všech bonbónù, které nyní v plechovce zbyly (po odebrání)" nebo "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
Obě možnosti jsou spočítatelné, ale vedou k rozdílnému výsledku. Pokud se dobře pamatuji na správné zadání, myšleno je "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
S touto premisou ad 2:
Výsledek 35 je špatně už jen proto, že není beze zbytku dělitelný 8. Připomeňme si větu: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly". Tento předpoklad splňují pouze čísla 8, 16, 24, 32.
Počet červených bonbónù --> x (číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Počet zelených bonbónù --> y (opět číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Máme rovnici:
z = x + y
kde "z" je nějaké nejmenší celé číslo (počet všech bonbónù pùvodně v plechovce), na které máme dojít, ale zároveň víme, že je dělitelné 8 beze zbytku.
(Vsuvka: už zde je patrné, že řešením mùže být jedině číslo z řady 40, 80, 120, 160. Pokud jsou čísla "x" a "y" dělitelná beze zbytku 5 a zároveň jejich součet je beze zbytku dělitelný 8, tak jejich součet musí být dělitelný jak 5, tak 8 beze zbytku. A tomu odpovídají pouze čísla z uvedené řady.)
Dále máme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
která nám vyjadřuje větu "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
3/5 x --> znamená počet červených bonbónù zbylých v plechovce po odebrání 2/5 červených bonbónù.
3/8 (x + y) --> znamená 3/8 všech bonbónù v plechovce, které tam pùvodně byly.
řešme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 x = 3/8 x + 3/8 y
24 x = 15 x + 15 y
9 x = 15 y
3 x = 5 y
=======
(x = 5/3 y)
Víme, že "x" a "y" je dělitelné 5 beze zbytku, takže to mohou být pouze čísla 5, 10, 15. tím z předchozí rovnice odvodíme:
Pokud je y = 5 --> pak x = 8,3333. (špatně)
Pokud je y = 10 --> pak x = 16,6666. (špatně)
Pokud je y = 15 --> pak x = 25 (sedí) --> obě čísla jsou dělitelná 5 beze zbytku.
Takže počet červených bonbónù je:
x = 25
a počet zelených bonbónù je:
y = 15
--------------------------------------
Zkouška:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 * 25 = 3/8 (25+15)
3/5 * 25 = 3/8 *40
3 * (25/5) = 3 * (40/8)
3 * 5 = 3 * 5
15 = 15
======
A to je správně.
Takže námi hledané číslo je:
z = x + y
z = 25 + 15
z = 40
=====
A je zároveň nejmenší možné, protože pokud bude "y" 5 nebo 10 (což jsou, jak jsme si ukázali, jediné možné menší alternativy) tak "x" bude necelé číslo, a navíc nebude dělitelné 5. (Nebo jinak: 40 je nejmenší možná alternativa z možné řady výsledkù 40, 80, 120.)
Dr Math
Tomas poslal linku na jeho zpusob reseni:) nicmene
pri cervenych c=10 a zelenych z=25 . Dokopy cili 35. Kdybys spravil zkousku spravnosti j(poslednich 5 radku reseni) ako my, zjistil bys ze snedl 4 cervene a ostalo 6 cervenych a 15 zelenych a ostalo 10 zelenych. cize ostalo 6/(6+10) = 6 / 16 = 3/8 vsech bonbonu...
Tak jak mohlo vyjst 40 bonbonu a ne 35 :D ?!?
pri cervenych c=10 a zelenych z=25 . Dokopy cili 35. Kdybys spravil zkousku spravnosti j(poslednich 5 radku reseni) ako my, zjistil bys ze snedl 4 cervene a ostalo 6 cervenych a 15 zelenych a ostalo 10 zelenych. cize ostalo 6/(6+10) = 6 / 16 = 3/8 vsech bonbonu...
Tak jak mohlo vyjst 40 bonbonu a ne 35 :D ?!?
6 let 1 Like
Dr Math
Repost od Tomas:
Ahoj jeste jednou.
Tak jsem se na to kukl, a dosel jsem na to, proc se rozchazime:
---
Jak jsem psal, pocital jsem dale s premisou "ze vsech bonbonu, ktere (pred odebranim) v plechovce puvodne byly". S timto zakladem vychazi celkovy pocet 40.
Ted jsem si to prosel poradne a zjistil jsem, ze ty jsi pocital s druhou premisou, a to: "ze vsech bonbonu, ktere nyni v plechovce zbyly (po odebrani)", kde skutecne vysledek vyjde 35. (Taky jsem avizoval, že to vede k rozdilnym vysledkum, ale blbec jsem si nespocital tu druhou moznost :D coz je moje chyba.)
Pouzita rovnice by tedy byla:
3/5 x = 3/8 (3/5 x + 2/5 y) --- pocet cervenych bonbonu, ktere zustaly = 3/8 zbytku (zustatek cervenych + zustatek zelenych)
Nicmene z toho plyne krasne ponauceni (a to nemyslim na tebe Dr Math): "Jednoznaènost zadani vede k jednoznacnemu vysledku."
Great challenge, po dlouhe dobe jsem si pekne zapocital. Moc dik.
Ahoj jeste jednou.
Tak jsem se na to kukl, a dosel jsem na to, proc se rozchazime:
---
Jak jsem psal, pocital jsem dale s premisou "ze vsech bonbonu, ktere (pred odebranim) v plechovce puvodne byly". S timto zakladem vychazi celkovy pocet 40.
Ted jsem si to prosel poradne a zjistil jsem, ze ty jsi pocital s druhou premisou, a to: "ze vsech bonbonu, ktere nyni v plechovce zbyly (po odebrani)", kde skutecne vysledek vyjde 35. (Taky jsem avizoval, že to vede k rozdilnym vysledkum, ale blbec jsem si nespocital tu druhou moznost :D coz je moje chyba.)
Pouzita rovnice by tedy byla:
3/5 x = 3/8 (3/5 x + 2/5 y) --- pocet cervenych bonbonu, ktere zustaly = 3/8 zbytku (zustatek cervenych + zustatek zelenych)
Nicmene z toho plyne krasne ponauceni (a to nemyslim na tebe Dr Math): "Jednoznaènost zadani vede k jednoznacnemu vysledku."
Great challenge, po dlouhe dobe jsem si pekne zapocital. Moc dik.
6 let 1 Like
@user
Výsledek je 40. Z toho důvodu , ze 40 je nejnizsi možné číslo, které lze rozdělit jak na pětiny tak i osminy (aby bylo výsledkem cele číslo ( rozuměj cely bonbon))
6 let 1 Like
Dr Math
Tym lidem co stale tu pisu o 40 jako o řešení třeba jen vzkázat že ať si přečte zadani jeste jednou, otestujuci ci 35 je správní řešení a nebe 40 je spravne reseni ... 35 je dělitelné 5. Proc by proboha melo byt dělitele 8? dělitelné 8 ma byt novy stav bonbonu 16 a ta je dělitelná 8 (a nemusi byt 5).
Odteď smažu kazdy nesmysel o 40: D Zadání je jednoznačné, Tomas se mýlil hned v prvni úvahu ... když napsal "Zadání není jednoznačné" .... a třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbonu v plechovce" je přece to ze zůstalo 6 červených z 16 celkových bonbonu ... Tam se nepočítej ti snědené ... ti jsou v břiše ne v plechovce...
Odteď smažu kazdy nesmysel o 40: D Zadání je jednoznačné, Tomas se mýlil hned v prvni úvahu ... když napsal "Zadání není jednoznačné" .... a třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbonu v plechovce" je přece to ze zůstalo 6 červených z 16 celkových bonbonu ... Tam se nepočítej ti snědené ... ti jsou v břiše ne v plechovce...
6 let 1 Like
Žák
Dobrý den. Jsem student 5 ročníku a koukal jsem se i na težší úlohy. Jen bych se chtěl zeptat jak zjistím, že červených je 10 a zelených 25? Vím, že je to možná hloupá otázka a vy budete nade mnou kroutit halvou, ale byl bych rád kdybyste mi někdo ukázal postup jak dostat ta čísla.
Tipy na související online kalkulačky
Chceš si vypočítat nejmenší společný násobek dvou nebo více čísel?
Potřebujete pomoci sčítat, zkrátít či vynásobit zlomky? Zkuste naši zlomkovou kalkulačku.
Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?
Potřebujete pomoci sčítat, zkrátít či vynásobit zlomky? Zkuste naši zlomkovou kalkulačku.
Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Související a podobné příklady:
- Z6–I–5 MO 2024
Péťa složil z navzájem shodných trojúhelníků několik rovinných útvarů. Obvody prvních tří jsou postupně 8 cm, 11,4 cm a 14,7 cm. Určete obvod čtvrtého útvaru - Pravoúhlý 37
Pravoúhlý trojúhelník má obsah 36 cm². V něm je umístěn čtverec tak, že dvě strany čtverce jsou částmi dvou stran trojúhelníku a jeden vrchol čtverce je ve třetině nejdelší strany. Určete obsah tohoto čtverce. - Z6-I-3 2022
Magda si vystřihla dva stejné rovnoramenné trojúhelníky, z nichž každý měl obvod 100 cm. Nejprve z těchto trojúhelníků složila čtyřúhelník tak, že je k sobě přiložila rameny. Poté z nich složila čtyřúhelník tak, že je k sobě přiložila základnami. V prvním - Polovina 80757
Na louce bylo 45 ovcí a několik pastýřů. Poté, co z louky odešla polovina pastevců a třetina ovcí, měli zbylí pastevci a ovce celkem 126 nohou. Všechny ovce a všichni pastevci měli obvykle počty nohou. kolik pastýřů bylo původně na louce? - Z6–I–4 MO 2021/22
Kuba si zapsal čtyřmístné číslo, jehož 2 číslice byly sudé a dvě liché. Pokud by v tomto čísle vyškrtl obě sudé číslice, dostal by číslo čtyřikrát menší, než kdyby v tomtéž čísle vyškrtl obě liché číslice. Které největší číslo s těmito vlastnostmi si mohl - Ovce 3
Kuba se domluvil s bačou, že se mu bude starat o ovce. Bača Kubovi slíbil, že po roce služby dostane dvacet zlatých a k tomu jednu ovci. Jenže Kuba dal výpověď, právě když uplynul sedmý měsíc služby. I tak ho Bača spravedlivě odměnil a zaplatil mu pět zla - Z6–I–5 MO 2019
Útvar na obrázku vznikl tak, že z velkého kříže byl vystřižen malý kříž. Každý z těchto křížů může být složen z pěti shodných čtverců, přičemž strany malých čtverců jsou poloviční vzhledem ke stranám velkých čtverců. Obsah šedého útvaru na obrázku je 45 c - Pážata MO Z6-I-4
Jednou si král zavolal všechna svá pážata a postavil je do řady. Prvnímu pážeti dal určitý počet dukátů, druhému dal o dva dukáty méně, třetímu opět o dva dukáty méně a tak dále. Když došel k poslednímu pážeti, dal mu příslušný počet dukátů, otočil se a o - Z6 – I – 6 MO 2019
Majka zkoumala vícemístná čísla, ve kterých se pravidelně střídají liché a sudé číslice. Ta, která začínají lichou číslicí, nazvala komická a ta, která začínají sudou číslicí, nazvala veselá. (Např. Číslo 32387 je komické, číslo 4529 je veselé. ) Mezi tro - Dědo MO Z5–I–5 2019
Dědeček má v zahradě tři jabloně a na nich celkem 39 jablek. Jablka rostou jen na osmi větvích: na jedné jabloni plodí dvě větve, na dvou jabloních plodí po třech větvích. Na různých větvích jsou různé počty jablek, ale na každé jabloni je stejný počet ja - MO 2019 Z5–I–3 Dukáty
Pan král rozdával svým synům dukáty. Nejstaršímu synovi dal určitý počet dukátů, mladšímu dal o jeden dukát méně, dalšímu dal opět o jeden dukát méně a takto postupoval až k nejmladšímu. Poté se vrátil k nejstaršímu synovi, dal mu o jeden dukát méně než p - MO Z6–I–3 2018
Na obrazku jsou naznačeny dvě řady šestiúhelníkových pole které doprava pokračují bez omezení do každého pole doplňte jedno kladné celé číslo tak aby součet čísel v libovolných třech navzájem sousedících polích byl 2018. Určete číslo které bude 2019 políč - Z6–I–5 MO 2018
V následujícím příkladě na sčítání představují stejná písmena stejné číslice, různá písmena různé číslice. RATAM RAD -------------- ULOHY - Z6-I-6 MO 2018
Ve dvanáctiúhelníku ABCDEF GHIJKL jsou každé dvě sousední strany kolmé a všechny strany s výjimkou stran AL a GF jsou navzájem shodné. Strany AL a GF jsou oproti ostatním stranám dvojnásobně dlouhé. Úsečky BG a EL se protínají v bodě M a rozdělují dvanáct - Z6-1-4 MO 2018
Pan Petřík má na zahradě 3 trpaslíky. Největší je Mašík, prostřední Jířa a nejmenší Faltýnek. Když postaví Faltýnka na Jířu jsou stejně vysocí jako Mašík. Když postaví Faltýnka na Mašíka měří o 34 cm více než Jířa. Když postaví na Mašíka Jířu, jsou o 72 c - Z6–I–1 MO 2018
Ivan a Mirka se dělili o hrušky na míse. Ivan si bere dvě hrušky a Mirka polovinu toho co na míse zbývá. Takto postupně odebírali Ivan, Mirka, Ivan, Mirka a nakonec Ivan, který vzal poslední dvě hrušky. Určete, kdo měl nakonec víc hrušek a o kolik. - Z5–I–4 MO 2018
V klubovně byly jen židle a stůl. Každá židle měla čtyři nohy, stůl byl trojnohý. Do klubovny přišli skauti. Každý si sedl na svou židli, dvě židle zůstaly neobsazené a počet nohou v místnosti byl 101. Kolik židlí bylo v klubovně?