MO Z6–I–3 2018
Na obrazku jsou naznačeny dvě řady šestiúhelníkových pole které doprava pokračují bez omezení do každého pole doplňte jedno kladné celé číslo tak aby součet čísel v libovolných třech navzájem sousedících polích byl 2018. Určete číslo které bude 2019 políčku v horní řadě.
Správná odpověď:
Zobrazuji 9 komentářů:
Žák2
Dobrý den mohli by jste to napsat do těch šestiúhelníků prosím a těm výpočtům vůbec ale vůbec nechápu děkuji vám předem.
Ok
Je to jednoduché. 3 políčka, které se dotýkají musí mít součin 2018, tím pádem je jasný že dole mezi 1 a 2 bude 1009 a nahoře se tedy musí začít 2, jelikož se dotýká dolního políčka 1 a 1009 a pak se to pořád opakuje......
2019/3 je celé číslo, tím pádem víme, že hodnota toho čísla je hodnota, která je na 3. místě v horním řádku - tudíž 1009. Nevím, jestli to vysvětluje dobře, ale takhle to chápu já. :)
2019/3 je celé číslo, tím pádem víme, že hodnota toho čísla je hodnota, která je na 3. místě v horním řádku - tudíž 1009. Nevím, jestli to vysvětluje dobře, ale takhle to chápu já. :)
5 let 5 Likes
Dr Math
Oficialni reseni:
Nápověda. Která čísla můžete doplňovat?
Možné řešení. Prvočíselný rozklad čísla 2018 je 2 · 1009. Číslo 2018 je tedy možné zapsat jako součin tří kladných čísel pouze dvěma způsoby (až na záměnu pořadí činitelů):
1 · 1 · 2018, 1 · 2 · 1009.
Do prázdných polí je tedy možno doplnit pouze některá z čísel 1, 2, 1009 a 2018. Kvůli snadnějšímu vyjadřování si neznámá čísla v prázdných polích označíme:
1
A
B
C
2
D
E
F
G
Aby platilo 1 · A · B = A · B · C, musí být C = 1. Aby platilo A · B · C = B · C · 2, musí být A = 2. Aby platilo B · C · 2 = C · 2 · D, musí být D = B. Takto postupně zjišťujeme 1 = C = E, A = 2 = F, B = D = G atd.
Čísla v polích se tedy pravidelně opakují podle následujícího vzoru:
1
2
B
1
2
B
1
2
B
1
Aby nyní součin libovolných tří navzájem sousedících polí byl 2018, musí být B = 1009. V horním řádku se tedy pravidelně střídá trojice čísel 2, 1, 1009. Jelikož 2019 = 3 · 673, je 2019. políčko třetím políčkem v 673. trojici v horním řádku. Proto je v tomto políčku číslo 1009.
Poznámka. Jakmile víme, která čísla se mohou v polích vyskytovat, můžeme je začít postupně doplňovat do některého z prázdných polí a následně zkoumat, zda a případně jak pokračovat dále. Tak lze vyloučit všechny možnosti až na tu uvedenou výše. (Kdybychom např. doplnili A = 1, potom z požadavku 1 · A · B = 2018 plyne, že B = 2018. Aby dále
platilo A · B · C = 2018, muselo by být C = 1, a tedy B · C · 2 = 2018 · 1 · 2. Tento součin však není 2018, proto A nemůže být 1.)
Řešení, ze kterého není patrné, proč výše uvedené doplnění je jediné možné, nemůže být hodnoceno nejlepším stupněm.
Nápověda. Která čísla můžete doplňovat?
Možné řešení. Prvočíselný rozklad čísla 2018 je 2 · 1009. Číslo 2018 je tedy možné zapsat jako součin tří kladných čísel pouze dvěma způsoby (až na záměnu pořadí činitelů):
1 · 1 · 2018, 1 · 2 · 1009.
Do prázdných polí je tedy možno doplnit pouze některá z čísel 1, 2, 1009 a 2018. Kvůli snadnějšímu vyjadřování si neznámá čísla v prázdných polích označíme:
1
A
B
C
2
D
E
F
G
Aby platilo 1 · A · B = A · B · C, musí být C = 1. Aby platilo A · B · C = B · C · 2, musí být A = 2. Aby platilo B · C · 2 = C · 2 · D, musí být D = B. Takto postupně zjišťujeme 1 = C = E, A = 2 = F, B = D = G atd.
Čísla v polích se tedy pravidelně opakují podle následujícího vzoru:
1
2
B
1
2
B
1
2
B
1
Aby nyní součin libovolných tří navzájem sousedících polí byl 2018, musí být B = 1009. V horním řádku se tedy pravidelně střídá trojice čísel 2, 1, 1009. Jelikož 2019 = 3 · 673, je 2019. políčko třetím políčkem v 673. trojici v horním řádku. Proto je v tomto políčku číslo 1009.
Poznámka. Jakmile víme, která čísla se mohou v polích vyskytovat, můžeme je začít postupně doplňovat do některého z prázdných polí a následně zkoumat, zda a případně jak pokračovat dále. Tak lze vyloučit všechny možnosti až na tu uvedenou výše. (Kdybychom např. doplnili A = 1, potom z požadavku 1 · A · B = 2018 plyne, že B = 2018. Aby dále
platilo A · B · C = 2018, muselo by být C = 1, a tedy B · C · 2 = 2018 · 1 · 2. Tento součin však není 2018, proto A nemůže být 1.)
Řešení, ze kterého není patrné, proč výše uvedené doplnění je jediné možné, nemůže být hodnoceno nejlepším stupněm.
Tipy na související online kalkulačky
Chcete převést dělení přirozených čísel - zjistit podíl a zbytek?
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Související a podobné příklady:
- Z6–I–5 MO 2024
Péťa složil z navzájem shodných trojúhelníků několik rovinných útvarů. Obvody prvních tří jsou postupně 8 cm, 11,4 cm a 14,7 cm. Určete obvod čtvrtého útvaru - Pravoúhlý 37
Pravoúhlý trojúhelník má obsah 36 cm². V něm je umístěn čtverec tak, že dvě strany čtverce jsou částmi dvou stran trojúhelníku a jeden vrchol čtverce je ve třetině nejdelší strany. Určete obsah tohoto čtverce. - MO z5 2024
Anetčin strýc má narozeniny ve stejný den v roce jako Anetčina teta. Strýc je starší než teta, ne však o víc než o deset let, a oba jsou plnoletí. Na poslední oslavě jejich narozenin si Anetka uvědomila, že když vynásobí jejich oslavované věky a výsledný - Čtyřúhulník AFHD
Trojúhelník ABC je rozdělen úsečkami. Úsečky DE a AB jsou rovnoběžné. Trojúhelníky CDH, CHI, CIE, FIH mají stejný obsah a to 8 dm². Zjistěte obsah čtyřúhelníku AFHD. - Nepozornosti MO 2023 Z9
Karel měl vynásobit dvě dvouciferná čísla. Z nepozornosti vyměnil pořadí číslic v jednom z činitelů a dostal součin, který byl o 4 248 menší než správný výsledek. Jaký je správný výsledek? Kolik mělo Karlovi správně vyjít? - Rozhodněte 82454
Adam měl papír, který byl natolik velký, že by se z něj dalo natrhat několik desítek tisíc kousků. Nejprve papír roztrhal na čtyři kousky. Každý z těchto kousků vzal a roztrhal buď na čtyři, nebo na deset kousků. Stejným způsobem pokračoval dál: každý nov - V loňském
V loňském roce bylo v našem skautském oddíle o 30 chlapců více než děvčat. Letos se počet dětí v oddíle zvětšil o 10% přičemž počet chlapců se zvětšil o 5% a počet děvčat se zvětšil o 20%. Kolik dětí máme letos v oddíle? - Myslím 20
Myslím si tři čísla, když je sečtou dostanu 16, když od součtu prvních dvou čísel odečtou třetí dostanu 10, když od součtu prvního a třetího čísla odečtou druhé dostanu 8. Která čísla si myslím? - Čtyřúhelníku 81469
Dán je čtverec ABCD. Střed AB je E, střed BC je F, CD je G a střed DA je H. Spojíme AF, BG, CH a DE. Uvnitř čtverce (přibližně uprostřed) průsečíky těchto úseček vytvoří čtyřúhelník. Vypočítejte obsah tohoto čtyřúhelníku. Děkuji - Z6-I-3 2022
Magda si vystřihla dva stejné rovnoramenné trojúhelníky, z nichž každý měl obvod 100 cm. Nejprve z těchto trojúhelníků složila čtyřúhelník tak, že je k sobě přiložila rameny. Poté z nich složila čtyřúhelník tak, že je k sobě přiložila základnami. V prvním - Z7–I–5 MO 2022
Na obrázku jsou znázorněny čtverce ABCD, EFCA, CHCE a IJHE. Body S, B, F a G jsou po řadě středy těchto čtverců. Úsečka AC je dlouhá 1 cm. Určete obsah trojúhelníku IJS. Prosím pomozte... - MO z7 2022
Jsou také dva rovnostranné trojúhelníky ABC a BDE tak že velikost úhlu ABD je větší než 120° a menší než 180° bod C, E leží ve stejné polorovině vymezené přímkou AD. Průsečík CD a AE je označen F. Určete velikost úhlu AFD. - Mo z9 2022 čtverce
Vrcholy čtverce ABCD spojuje lomená čára DEFGHB. Menší úhly u vrcholů E, F, G, H jsou pravé a úsečky DE, EF, FG, GH, HB po řadě měří 6 cm, 4cm, 4 cm, 1 cm, 2 cm. Určete obsah čtverce ABCD. - MO Z7 2022
Eva si myslela dvě přirozená čísla. Tyto nejprve správně sečetla, poté správně odečetla. V obou případech dostala dvouciferný výsledek. Součin takto vzniklých dvouciferných čísel byl 645. Která čísla si Eva myslela? Prosím vás, jaký je tento výsledek? - Petra 3 MO 2022
Petra měla napsaná přirozená čísla od 1 do 9. Dvě z těchto čísel sečetla, smazala a výsledný součet napsala místo sčítanců. Měla tak napsáno osm čísel, která se jí podařilo rozdělit do dvou skupin se stejným součinem. Určete jaký největší mohl být tento s - Polovina 80757
Na louce bylo 45 ovcí a několik pastýřů. Poté, co z louky odešla polovina pastevců a třetina ovcí, měli zbylí pastevci a ovce celkem 126 nohou. Všechny ovce a všichni pastevci měli obvykle počty nohou. kolik pastýřů bylo původně na louce? - MO Z7 2022 - Průměrný vek
Průměrný věk dědy, babičky a jejich pěti vnoučat je 26 let. Průměrný věk samotných vnoučat je 7 let. Babička je o rok mladší než děda. Kolik let je babičce?